[Các phương án gần đúng cho kỳ thi tuyển sinh môn toán vào đại học năm 1977 dành cho cao đẳng]

52

4. Một tứ diện đều được chứa trong một quả cầu có bán kính $R$ sao cho ba đỉnh của nó thuộc về hình cầu và đỉnh thứ tư nằm cách tâm hình cầu một khoảng $d$. Tìm cạnh của tứ diện.
5. Chứng minh rằng thành phần của hai trục đối xứng có trục song song là một phép tịnh tiến song song.
   L. Sadovsky, E. Shuvalova

II. Đối với các khoa đại học khác

1. Tìm miền định nghĩa của hàm số:
   a) $y = \lg(x - 1) - \arcsin \frac{x}{3}$;
   b) $y = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$;
   c) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 10x + 9}}{\log_2(x + 1)}$;
   d) $y = \lg(1 - \lg(x^2 - 5x + 14))$.

2. Cho hàm $f(x) = x^4 + 5x^2 + 1$. Hãy chứng minh rằng $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^4}$.

3. $f(x) = x^2$. Tìm thấy:
   a) $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$;
   b) $\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$.

4. Cho hàm $f(x) = \lg \frac{1 - x}{1 + x}$. Hãy chứng minh rằng $f(a) + f(b) = f\left(\frac{a + b}{1 + ab}\right)$.

5. Tính giới hạn của hàm số:
   a) $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - 9x + 20}$;
   b) $\lim_{x \to 1} \frac{3x^4 - 4x^2 + 1}{x^3 - x^2 - x + 1}$;
   c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$.

6. Tìm các giá trị cực trị của các hàm sau và cho biết chúng đạt được giá trị nào $x$:
   a) $y = 2x^2 + 4x + 7$;
   b) $y = |8x^2 - 8x - 6|$.

7. Tìm giá trị lớn nhất và nhiều nhất của hàm $y = \sin 2x - x$ trên khoảng $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

8. Tìm giá trị lớn nhất và nhiều nhất của hàm $y = 2\sin x + \sin 2x$ trên khoảng $\left[0, \frac{3\pi}{2}\right]$.

9. Trong số tất cả các hình trụ có tổng bề mặt là $48\pi cm^2$, hãy tìm hình trụ có thể tích lớn nhất.

10. Cần phải làm một chiếc hộp cứng không có nắp có đáy hình vuông có thể tích tối đa, diện tích bề mặt của nó bằng $12cm^2$. Xác định kích thước của hộp.

11. Trong khai triển nhị thức
    $$\left(\frac{1}{2}a^2b - 2ab^2\right)^n$$
    tính theo bốn số hạng nếu tỉ số giữa hệ số nhị thức của số hạng thứ ba của khai triển với hệ số nhị thức của số hạng thứ năm là 2.

12. Chứng minh phương pháp quy nạp toán học của biểu thức:
    a) $1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + \dots + n(n + 1) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$;
    b) $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{(n + 1)}$.

13. Các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tạo thành tất cả các số có thể không có chữ số giống nhau. Có bao nhiêu số chứa các số 2, 4 và 5 cùng một lúc?

14. Mười hai học sinh được đưa ra hai lựa chọn để theo dõi công việc của mình. Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi thành hai hàng sao cho những người ngồi cạnh nhau không có lựa chọn giống nhau, còn những người ngồi cạnh nhau có cùng lựa chọn?

15. Trong tam giác $ABC$, điểm $O$ là giao điểm của ba đường trung tuyến. Hãy chứng minh rằng $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$.

16. Một hình trụ có bán kính đáy là 1 cm và chiều cao 3 cm nội tiếp trong một quả cầu sao cho đáy của nó là tiết diện của quả cầu. Tìm tỉ số giữa diện tích bề mặt của hình cầu và diện tích bề mặt của hình trụ.

17. Hình bán nguyệt được chia thành ba phần bằng nhau bởi hai bán kính. Tìm tỷ số thể tích của hàm số thu được bằng cách biểu thị các cung này xung quanh đường kính của nửa hình tròn.

18. Cho một hình thang $ABCD$, trong đó $\overrightarrow{BAD} = 60^\circ$. Qua đế lớn của mặt phẳng một góc $45^\circ$ so với mặt bên $AB$. Tìm tỉ số giữa mặt phẳng của một hình thang đã cho với diện tích hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

19. Tam giác $ABC$ có $\hat{A} = 45^\circ$, $\hat{B} = 60^\circ$, nội tiếp trong đường tròn đơn vị có tâm tại $O$. Tính tích số chấm:

1. $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}$;
2. $\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}$;
3. $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$.

B. Trenotsin, N. Kvacheva