Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

53

Đại học quốc gia Moscow
họ. M. V. Lomonosova

Dưới đây là các ví dụ về các lựa chọn cho kỳ thi viết đầu vào môn toán và ví dụ về kỳ thi vấn đáp bài toán môn vật lý dành cho các ứng viên vào một số khoa của Đại học quốc gia Moscow năm 1976.

Toán học

Khoa Kinh tế Chính trị, Khoa Kinh tế

1. 8 ngày sau khi đội thợ rừng bắt đầu bố trí quy trình ở rừng taiga, đội thứ hai đã tham gia và họ cùng nhau hoàn thành phần còn lại của công việc. Nếu lữ đoàn được bố trí vào các vai trò thì việc dọn dẹp sẽ bị cắt nhanh hơn 2 ngày. Hai đội làm việc cùng nhau trong bao nhiêu ngày nếu biết đội thứ nhất hoàn thành 10% tổng công việc nhanh hơn đội thứ hai 4 ngày?

2. Giải phương trình

$$5 \text{tg} x = 2 \sqrt{3} \sin \frac{x}{2}.$$

3. Cho tam giác ABC vẽ đường phân giác BD của góc ABC. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BDC nếu

$$|AB| = 42, |BC| = 30, \cos \widehat{BAC} = \frac{5}{7}.$$

4. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} (x^2 - 1)^{2/2} (\text{tg} y + 3)^3 = 32, \\ 2 \log_{(\text{tg} y + 3)} (x^2 - 1) - \log_{(\text{tg} y + 3)} 2 = 5. \end{cases}$$

5. Giải phương trình

$$\frac{7}{2} x^2 - \frac{7x}{\sqrt{3} - x} - 22x + 3 |2 - 7x| + \frac{|2 - 7x|}{\sqrt{3} - x} = \frac{1}{2} x |2 - 7x| - \frac{2}{\sqrt{3} - x} - 6.$$

Khoa Kế hoạch và Điều khiển kinh tế, Khoa Kinh tế

1. Giải bất đẳng thức

$$[\lg(x + 1)]^4 - 4 [\lg(x + 1)]^2 + 3 \leq 0.$$

2. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình

$$\begin{cases} \text{ctg}^2(x - y) - (1 + \sqrt{3}) \text{ctg}(x - y) + \sqrt{3} = 0, \\ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}, \end{cases}$$

thỏa mãn các điều kiện 0 < x < π, 0 ≤ y 2π.

3. Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh AB được nối với đỉnh C bằng đoạn MC. Được biết, |AM| = 1, |MB| = 3, $\widehat{ACM} = 30^\circ$, $\widehat{MCB} = 60^\circ$. Tìm chu vi của tam giác ABC.

4. Đáy ABC của cặp tam giác KABC là tam giác vuông ($\widehat{ACB} = 90^\circ$). Cạnh KC vuông góc với đáy ABC và có chiều dài $\frac{4}{3} \sqrt{3}$; Diện tích khuôn mặt AKB là 5.

Diện tích cơ sở lớn nhất có thể có của ABC trong các điều kiện này là bao nhiêu?

Khoa Tâm lý học

1. Đoàn tàu đầu tiên đi lên dốc trong một giờ, sau đó đi xuống dốc trong 10 giờ, đi được quãng đường 840 km. Nếu quãng đường leo núi dài 10 km, nó sẽ đi được 153 km trong hai giờ. Tìm vận tốc của đoàn tàu khi lên dốc và xuống dốc, biết vận tốc lên dốc lớn hơn 110% vận tốc của đoàn tàu lên dốc.

2. Cho tam giác ABC vẽ các đường trung tuyến AD và CE. Được biết, |AD| = 5, $\widehat{AC} = \frac{\pi}{8}$, $\widehat{ECA} = \frac{\pi}{4}$. Xác định diện tích tam giác ABC.

3. Giải phương trình

$$5 \cdot x^{\log_{15}x} - 3 \cdot 5^{\log_{15}x^2} = 0.$$

Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình này đều là số hữu tỉ.

4. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

$$\text{tg} x + \sqrt{\text{tg}^2 x + 4 \text{ctg}^2 x + 4} = 4.$$

5. Trong tất cả các phương trình lời giải (x, y) $x^2y - x^2 + 2xy - x + 2y = 1$, hãy tìm những phương trình lời giải mà y nhận giá trị cao nhất.

Khoa Tuyến tính kết cấu và ứng dụng, Khoa Tài chính

1. Trong 600 hoạt động, dây chuyền tự động sản xuất 3 lô lốp xe khách số tự động và 11 lô lốp xe tải số tự động. Nếu dây chuyền tự động này chỉ sản xuất lốp xe tải số tự động và chỉ sản xuất những lô lốp như vậy thì cần bao nhiêu thao tác để sản xuất một mẻ lốp xe ô tô khách số tự động thì dây chuyền tự động này sẽ cần ít nhất 2727 thao tác.