Số học với hình học

31

…, $a_n$ với tổng dài nhất.

Bài tập 10. Chứng minh rằng tất cả các vectơ từ $B$ “cùng hướng”, nghĩa là chúng tạo thành các góc nhọn với một trục nào đó.

Hãy gọi phép chiếu giả của vectơ $p$ lên trục $l$ là phép chiếu thông thường nếu góc giữa $p$ và $l$ là nhọn và số $0$ nếu ngược lại. Chúng tôi sửa một số trục $l_0$. Đặt $l_\alpha$ là trục tạo thành một góc $\alpha$ với trục $l_0$. Hãy đặt

$$g(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{ если } \cos x > 0, \\ 0, & \text{ если } \cos x \leq 0. \end{cases}$$

Bài tập 11. Kiểm tra $\int_0^{2\pi} g(\varphi - \alpha) d\alpha = 2$ với bất kỳ $\varphi$ nào.

Nếu $\varphi$ là góc giữa vectơ $p$ và trục $l_0$, thì phép chiếu giả của vectơ này lên trục $l_\alpha$ bằng $|p|g(\varphi - \alpha)$.

Chúng ta hãy biểu thị tổng các hình chiếu giả của vectơ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ lên trục $l_\alpha$ bằng $f(\alpha)$.

Bài tập 12. Chứng minh giá trị trung bình của hàm số $f$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ bằng $\frac{1}{\pi}$.

Bài tập 13. Chứng minh rằng có thể chọn trục $l_\alpha$ sao cho tổng các hình chiếu giả của các vectơ này lên trục này không nhỏ hơn $\frac{1}{\pi}$.

Bài tập 14. Chứng minh khẳng định bài toán 4.

Hằng số $\frac{1}{\pi}$ trong bài toán 4 không thể thay thế bằng bất kỳ hằng số nào lớn hơn. Điều này có thể được xác minh bằng cách lấy một $n$ đủ lớn và các vectơ đi dọc theo các cạnh của một $n$-giác thông thường.

Nếu trong bài toán 4 chúng ta thay thế $\frac{1}{\pi}$ bằng $\frac{1}{4}$, thì câu lệnh tương ứng cũng sẽ đúng với các vectơ trong không gian.

Số học với hình học

a) Tìm độ dài cạnh của hình vuông và tam giác đều như hình vẽ, nếu trong các công thức biểu thị độ dài cạnh, mỗi chữ cái biểu thị một số nhất định.

b) Giải tương tự bài toán cho một hình thoi như trong hình dưới đây.

V. Radunsky