Chuyện của một học sinh lớp 5

48

Tất cả bắt đầu bằng chữ cái.

Thư một. “Xin chào, Andrey! Gần đây chúng tôi tổ chức một cuộc thi Olympic toán ở trường. Tôi đã giải được mọi thứ bài toán, nhưng tôi không chắc về câu cuối cùng. Không có thời gian để kiểm tra xem tôi có tìm thấy tất cả các số hay không; Có, ngay cả khi có thời gian, tôi vẫn sẽ không xem hết tất cả các số có hai chữ số, vì nó nhàm chán! Hãy quyết định và viết xem bạn sẽ có đáp số nào, nếu không thì tôi nghi ngờ. Số này bài toán.

Ở một số số có hai chữ số, tôi gạch bỏ chữ số đó thì số đó giảm đi 31 lần. Bạn đã gạch bỏ số nào và số nào?

Tôi có ba đáp số: 31, 62 và 93 và bạn cần gạch bỏ chữ số đầu tiên. Surrey.”

Thư hai. “Xin chào, Seryozhka. Bạn đã đưa ra đáp số đúng và nếu bạn đồng ý, hãy giải Olympic bài toán của chúng tôi.

Số có ba chữ số lớn hơn số có hai chữ số được viết ở số cuối cùng là 26 lần. Tìm số này. Có tổng cộng bao nhiêu số cực đại? Andrey”.

Nhận được bức thư này, Seryozhka đã liên lạc và sau đó cố gắng giải quyết bài toán Andrey. Nhưng lần này không có sự thống nhất nào, mặc dù Seryozhka đã thử rất nhiều con số và cố gắng tự soạn chúng. Sau đó anh ấy nghĩ rằng có lẽ bài toán có thể giải được bằng một phương trình. Nhưng chúng ta nên lấy gì cho x? Số có ba chữ số? Vậy làm thế nào chúng ta có thể viết điều kiện bài toán?

Đột nhiên anh “ chợt nhận ra” rằng tất cả các số đều được viết dưới mười chữ số. Không có số có ba chữ số trong bài toán. Dưới đây là ba ẩn số:

số hàng trăm - x,
số chục - y,
số lượng đơn vị - z.

Và điều kiện bài toán sẽ được viết như thế này:
100x + 10y + z = 26(10y + z),
hoặc, sau khi đơn giản hóa,
4x = 10y + z.

Ở đây Seryozhka nghĩ lại - có một phương trình, nhưng có ba ẩn số. Nhưng ngay khi anh nhớ ra x, y, z là những con số, mọi thứ lại bắt đầu như cũ. Trong đẳng thức cuối cùng bên phải có 10y + z - một số có hai chữ số, nghĩa là ở bên trái 4x cũng là số có hai chữ số. Điều này sẽ chỉ xảy ra với x = 3, 4, …, 9. Và ngay lập tức chúng ta nhận được đáp số:

| x | 10y + z | y | z | Đáp số |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| 3 | 12 | 1 | 2 | 312 |
| 4 | 16 | 1 | 6 | 416 |
| 5 | 20 | 2 | 0 | 520 |
| 6 | 24 | 2 | 4 | 624 |
| 7 | 28 | 2 | 8 | 728 |
| 8 | 32 | 3 | 2 | 832 |
| 9 | 36 | 3 | 6 | 936 |

Bây giờ Seryozhka tin chắc rằng mình đã tìm ra tất cả các con số. Sau đó, anh ấy gạch bỏ phần của mình và Andrey yêu cầu gửi một bài toán khác. Họ đây rồi.

Nhiệm vụ và

1. Tìm tất cả các số có hai chữ số chia hết cho a) 2; b) 3; c) 4; đ) 5; đ) 6; đ) 7; g) 8; h) 9, đồng thời cho các phần bằng tổng các chữ số của số bị chia.

2. Trong một số có ba chữ số, tất cả các chữ số đều khác nhau và không có số 0 trong số đó. Các chữ số của số này đã được hoán đổi và tất cả các số có ba chữ số (khác nhau) nhận được đều được thêm vào. Chứng minh rằng tổng này chia hết cho 222.

Tuyên bố này có đúng không nếu số có ba chữ số ban đầu chứa các chữ số giống hệt nhau hoặc có số 0?

3. Khi chia một số có hai chữ số cho 6 thì số dư bằng chữ số đầu tiên của số bị chia, khi chia số đó cho 10 thì số dư bằng chữ số thứ hai của số đó và thương là 3. Tìm tất cả các số đó.