Bài toán M451—M455; F463—F467

32

Bài toán

M451—M455; F463—F467

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường hiện tại. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 10 năm 1977 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết các số bài toán, lời giải bạn đang gửi, ví dụ: “M451, M454” hoặc “F467”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới phải được gửi trong phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi Bài toán từ các số tạp chí khác nhau trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, hãy gửi hai bản sao cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Trong số này và các số tiếp theo, “Bài toán «Kvant» chủ yếu bao gồm bài toán, được đưa ra tại Olympic toàn thế giới vừa qua.

M451. Một số điểm không nằm trên cùng một đường thẳng được đánh dấu trên mặt phẳng và một số được viết bên cạnh mỗi điểm. Biết rằng nếu một đường thẳng đi qua hoặc nhiều điểm bù thì tổng các số viết gần các điểm này đều bằng 0. Chứng minh rằng mọi số đều bằng 0.

F. Vainitein

M452. Các hình tam giác $T_1$ và $T_2$ nội tiếp trong một đường tròn và các đỉnh của tam giác $T_2$ là trung điểm của các cung mà đường tròn được chia cho các đỉnh của tam giác $T_1$. Chứng minh rằng trong lục giác $T_1 \cap T_2$ các đường chéo nối các đỉnh đối diện song song với các cạnh của tam giác $T_1$ và cắt nhau tại một điểm.

N. Netsvetaev

M453. Cho một tập hợp số dương $\{a_1; a_2; ...; a_n\}$. Đối với mỗi tập hợp con của nó, chúng ta viết ra tổng các số có trong đó (tổng của một, hai, …, $n$ số hạng được xem xét). Chứng minh rằng tất cả các số viết được đều có thể chia thành các nhóm $n$ sao cho trong mỗi nhóm tỉ số giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất không vượt quá 2.

M454. 7 chú lùn đang ngồi ở một chiếc bàn tròn. Trước mỗi người đều có một chiếc cốc. Một số cốc này chứa đầy sữa. Một trong những chú lùn đổ hết sữa của mình vào cốc của những người khác. Sau đó, người hàng xóm bên phải của anh ta cũng làm như vậy. Sau đó, người hàng xóm tiếp theo bên phải cũng làm như vậy, v.v. Sau người cuối cùng, người lùn tiếp theo đổ phần sữa còn lại của họ ra, mỗi cốc chứa cùng một lượng sữa như lúc đầu. Tất cả các cốc đều chứa 3 lít sữa. Hỏi ban đầu mỗi cốc có bao nhiêu sữa?

B. Gutenacher

33

M455. Chúng ta sẽ xem xét các đa thức $P$, $Q$, $R$, … trong một biến có hệ số dẫn đầu là 1. Chúng ta sẽ nói rằng hai đa thức như vậy $P$ và $Q$ giao hoán nếu các đa thức $P(Q(x))$ và $Q(P(x))$ cũng thực sự bằng nhau (nghĩa là sau khi mở dấu ngoặc đơn và rút gọn tất cả chúng về dạng chuẩn hệ số của các đa thức này trùng nhau).

a) Với mỗi số $a$, hãy tìm tất cả các đa thức bậc nhiều nhất là 3 giao hoán với đa thức $P(x) = x^2 - a$.

b) Cho $P$ là đa thức bậc 2, $k$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng có nhiều nhất một đa thức bậc $k$ giao hoán với $P$.

b) Tìm tất cả các đa thức bậc 4 và 8 giao hoán với đa thức $P$ bậc 2 đã cho.

d) Đa thức $Q$ và $R$ giao hoán với cùng đa thức $P$ bậc 2. Chứng minh rằng chúng giao hoán với nhau.

d) Chứng minh rằng tồn tại dãy vô hạn các đa thức $P_2$, $P_3$, $P_4$, …, $P_h$, …, trong đó $P_h$ là đa thức bậc $k$ trong đó hai đa thức bất kỳ giao hoán và đa thức $P_2$ có dạng $P_2(x) = x^2 - 2$.

I. Bernishtein, E. Turkevitz

F463. Hai tảng băng đang chuyển động về phía trước với vận tốc bằng nhau về giá trị tuyệt đối, một tảng hướng về phía Bắc, một tảng băng hướng về phía Tây. Hóa ra là tại bất kỳ thời điểm nào trên cả hai tảng băng đều có thể sắp xếp đồng hồ sao cho tốc độ của hai đầu kim giây so với Trái đất sẽ bằng nhau và đối với mỗi thời điểm, sự sắp xếp như vậy là duy nhất. Xác định quãng đường di chuyển của tảng băng mỗi ngày nếu chiều dài mỗi kim giây là 1 cm. Các mặt đồng hồ được đặt theo chiều ngang. (8 lớp)

F464. Hình 1 cho thấy hai vòng khép kín: ABBA và ABCA. Cả hai chu trình đều được thực hiện với khí đơn nguyên tử lý tưởng.

1. Cho biết phần nào của chu trình khí nhận được và phần nào nó tỏa nhiệt.

2. Chu trình nào có hiệu suất cao hơn? Bao nhiêu lần? (9 lớp)

F465. Trong máy phát điện của nhà máy điện cao áp, các điện tích được truyền bằng băng điện môi và tích điện vào điện cực hình cầu điện áp cao có bán kính $R = 1,5$ m (Hình 2). Ước tính giá trị tối đa của điện áp và dòng điện có thể thu được từ máy phát điện như vậy nếu tốc độ dây đai là $v = 20$ m/giây và chiều rộng của nó là $l = 1$ m. Sự cố xảy ra khi điện áp trường của nhà máy điện là $E_0 = \frac{30}{kb/cm}$. (9 lớp)