Задачи М451—М455; Ф463—Ф467

Квант 1977, №7 с. 32-33 Тег C9G3

Задачи

M451—M455; Ф463—Ф467

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечены звездочек.

Решения задач из этого номера можно прислать не позднее 1 октября 1977 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». После адреса на конверте написите номера задач, решения которых вы посылаете, например, «M451, М454» или «Ф467». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылаять в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала прислайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, прислайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта», новая задач по физике» или «…новая задач по математике»). После формирования задач мы обычно указываем, кто предложил нам эту задач. Разумеется, не все эти задачи публикаются впервые. В этом и следующих номерах «Задачик «Кванта» составлен в основном из задач, предлагавшихся на последней Всегоизной олимпиде.

M451. На плоскости отмещено несколько точек, не лежащих на одной прямой, и около каждой написано число. Известно, что если прямая проходит через или более отмещенных точек, то сумма всех чисел, написанных около этих точек, равна нулю. Докажите, что все числа равны нулю.

Ф. Вайнитейн

M452. В окружность вписаны треугольники $T_1$ и $T_2$ , причем вершины треугольника $T_2$ являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника $T_1$ . Докажите, что в шестиугольнике $T_1 \cap T_2$ диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника $T_1$ и пересекаются в одной точке.

H. Нецветаев

M453. Дано множество положительных чисел $\{a_1; a_2; ...; a_n\}$ . Для каждого его подмножества выпишем сумму входящих в него чисел (расматриваются суммы из одного, двух, …, $n$ слгаемых). Докажите, что все выписанные числа можно так разбить на $n$ групп, чтобы в каждой группе относение набольшего числа к наименшему не превысило 2.

M454. За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждой стонут кружка. В некоторых из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает все свое молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и так далее. После того, как последний, следующий гном разливаем остальные свое молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?

B. Гутенахер

М455. Мы будем рассматривать многочлены $P$ , $Q$ , $R$ , … от одного переменного со старшим коэффициентом 1. Будем говорить, что два таких многочлена $P$ и $Q$ коммутируют, если многочлены $P(Q(x))$ и $Q(P(x))$ тоже действно равны (то есть после раскрытия скобок и приведения к стандартному виду все коэффициенты этих многочленов совпадают).

a) Для каждой числа $a$ найдите все многочлены степени не выше 3, коммутирующие с многочленом $P(x) = x^2 - a$ .

b) Пусть $P$ — многочлен степени 2, $k$ — натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени $k$ , коммутирующего с $P$ .

b) Найдите все многочлены степени 4 и 8, коммутирующие с данным многочленом $P$ степени 2.

г) Многочлены $Q$ и $R$ коммутируют с одним и тем же многочленом $P$ степени 2. Докажите, что они коммутируют между собой.

d) Докажите, что существует бесконечная последовательность многочленов $P_2$ , $P_3$ , $P_4$ , …, $P_h$ , …, где $P_h$ — многочлен степени $k$ , в которой любые два многочлена коммутируют, и многочлен $P_2$ имеет вид $P_2(x) = x^2 - 2$ .

И. Берништейн, Э. Туркевиц

Ф463. Две льдины движутся поступательно с одинаковыми по абсолотному значению скоростими, одна — на север, другая — на запад. Оказаюсь, что в любой момент времени на обеих льдинах можно так расположить часы, что скорости концов секундных стрелок относительно Земли будут равными, причем, для каждой момента времени такое расположение единственно. Определить, на какое расстояние перемещаются льдины за сутки, если длина каждой секундной стрелки равна 1 см. Циферблаты часов расположены горизонтально. (8 кл.)

Ф464. На рисунке 1 изображены два замкнутых цикла: АБВА и АВГА. Оба цикла проведены с идеальным одноатомным газом.

Указать, на каких участках циклов газ получает и на каких участках отдает тепло.
У какого из циклов коэффициент полезного действия выше? Во сколько раз? (9 кл.)

Ф465. В высоковольтном электростанческом генераторе заряды переносятся диэлектрической лентой и заряжают высоковольтный сферический электрод радиуса $R = 1,5$ м (рис. 2). Оценить максимальные значения напряжения и тока, которые можно получить от такого генератора, если скорость ленты $v = 20$ м/сек, а ее ширина $l = 1$ м. Пробой в возникшее вознкает при напряжении электростанческого поля $E_0 = \frac{30}{kb/cm}$ . (9 кл.)