Решения задач М411, М412, М414, М415; Ф423—Ф427

34

Ф466. Рисунок 3 сделан с фотографием треков части в камере Вильсона. Распады ядер газа, наполняющего камеру Вильсона, вызваны в данном случае действием на них быстрых нейтронов. Камера Вильсона была заполнена смесью водорода (H₂), паров спирта (C₂H₅OH) и воды (H₂O) и помещена в магнитное поле с индукцией 1,3 мл. Вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно плоскости рисунка.

1. Определить энергию протона, появившегося в точке A. Траектория этого протона — кривая AA′. Почему меняется кривизна траектории протона? Определить энергию протона в точке C его траектории.

Масса протона равна 1,67·10⁻²⁷ ккал.

2. Определить, ядро какого элемента распалось в точке A, если треки части, начинающие в этой точке, идентифицированы как следы двух протонов и двух α-частиц. (10 кл.)

Ф467. Луна одновременно фотографируется с одной и той же стороны с Земли и со спутника Луны. Орбита спутника крутовая. Диаметр изображения Луны на фотографини, полученной на Земле, равен 4 мм, а на спутнике Луны — 250 мм. Найти перiod обращения спутника Луны по его орбите, если оба chimка сделаны с помощью одинаковых объектов с фокусным расстоянием 500 мм. Принять, что ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше чем на Земле и расстояние от Земли до Луны равно 380 000 км. (10 кл.)

Решения задач
M411, M412*), M414, M415; Ф423—Ф427

М411. Три отрезка с кончками на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеем одинаковую длину x. Найдем x, если длины сторона треугольника равны a, b, c.

На рисунке 1 заштрихованы три треугольника, подобные ABC, у каждой из которых одна сторона имеет длину x.

Рассмотрим стороны трех заштрихованных треугольников, параллельные стороне AC длины b; обозначим длины этих сторон через b₁, b₂ и b₃. Заметим, что сумма их длины равна 2b (b = |AC|): b₁ + b₂ + b₃ = 2b, так что $\frac{b_1}{b} + \frac{b_2}{b} + \frac{b_3}{b} = 2$ — сумма коэффициентов подобия этих треугольников равна двум. Поэтому и $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} + \frac{x}{c} = 2$, откуда

$$x = \frac{2abc}{ab + ac + bc}.$$

А. Ягульчи

*) Задача M413 решена в статье И. Яглома «О хордах непрерывных кривых», «Квант», 1977, № 4.

35

М412. В zorode на каждую площадь выходим не менее трех улиц. На всех улицах ведено одностороннее движение mak, что с любой площади можно проехать на любую другую. Докажите, что можно запретить движение по одной из улиц (на участке между двумя площадями) mak, что по-прежнему с любой площади можно будет проехать на любую другую.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

М414. a) Из прямых треугольников, отсекаемых от данной выпуклого прямого полинника (рис. 5), площади четырех равных S, площадь прямого — 3S/2. Найдите площадь x прямого полинника.

6. Докажите, что если $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ — площади прямых треугольников, а $x$ — площадь прямого — 3S/2. Найдите площадь x прямого полинника.

7. Докажите, что если $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ — площади прямых треугольников, а $x$ — площадь прямого — 3S/2. Найдите площадь x прямого полинника.

Докажем наше утверждение индикцией по числу площадей. Если площадей две, то оставим две улицы, соединяющие первую площадь со второй и вторую, а остальные закроем.

Пусть площадей больше двух. Предположим, что нам удалось указать замкнутый маршрут по улицам города, начинающийся и кончащийся на площади A и проходящий не менее чем по трем площадям. (Как строятся кольцевые маршруты, показано на рисунке 2: мы берем маршрут, соединяющий площадь A с некоторой площадью B, затем маршрут, соединяющий B с A, и выделяем нужный нам маршрут — красное «кольцо» на рисунке.) Изменим план города: обьявим весь этот кольцевой маршрут новой площадью, а улицы обьявим все улицы, не входящие в наш кольцевой маршрут, сохранив на них направление движения. При этом у нас, возможно, появятся улицы, начинающиеся и кончащиеся на новой площадии. Проверим, что полученный «город» удовлетворяет всем условиям задачи. Для этого нужно убедиться, что на новую площадь выходит не меньше трех улиц. Это обеспечивает нашим предположением, что в кольцевом маршруте не меньше трех площадей (см. рис. 3). Не менее ясно, что по-прежнему с любой площади можно проехать на любую другую, — наша «перепланировка» могла только сократить соответствующие маршруты. Таким образом, мы получили город, удовлетворяющий условиям задачи и имеющей меньше числа площадей. По предположению индикции в нем есть «лишняя» улица. Ей соответствует некоторая улица старого города. Запретим по ней движение. Легко убедиться, что проезд по-прежнему возможно. Действительно, рассмотрим площади $\Pi_1$ и $\Pi_2$ и маршрут, соединяющий $\Pi_1$ с $\Pi_2$ в новом городе и не проходящий через закрытую улицу. Пересечением этот маршрут в старый город. Если этот маршрут не проходил через новую площадь, то он соединяет $\Pi_1$ с $\Pi_2$. В противном случае он разобется на две части: до «кольца» и после «кольца». Добавив к нему соответствующую часть кольца, мы получим нужный маршрут, соединяющий $\Pi_1$ с $\Pi_2$ в старом городе и не проходящий через закрытую улицу.

Осталось рассмотреть города, в котором нет длинных кольцевых маршрутов. Возьмем некоторую площадь A такого города. Если с нее можно проехать на площадь B по одной улице, то и с площади B на нее можно проехать по одной улице — иначе удалость бы указаать больше кольцо. Поступим теперь следующим образом: рассмотрим площадь A и соседнюю с ней площадь B1. Площадь B1 соединена с площадью A (см. рис. 4). Кроме этого, есть еще одна улица, выходящая на A. Пусть она другим концом выходит на площадь B2. Но тогда есть еще одна улица, соединяющая A и B2 — с противоположным направлением движения. Поэтому мы обьявим кольцо $AB_1A$ новой площадью, условия задачи будут выполнены: на новую площадь будет выходит не менее трех улиц.

Л. Лиманов

◆ Начнем сразу с задачи 6). Пусть $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ — площади треугольников $A_1A_2A_3, A_2A_3A_4, A_3A_4A_5, A_4A_5A_1, A_5A_1A_2$ соответственно. Обозначим через a площадь треугольника $A_1A_2A_4$, через b — площадь треугольника $A_1A_3A_4$ и через c — площадь треугольника $A_1A_3A_5$. Тогда (см. рис. 6—8):

$$\begin{align*} x &= S_2 + a + S_4; \\ x &= S_1 + b + S_4; \\ x &= S_1 + c + S_3. \end{align*}$$

Пусть величины углов $A_2A_1A_3, A_2A_1A_4, A_2A_1A_5$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Тогда (рис. 9):

$$\begin{align*} 2S_1 &= |A_1A_2| \cdot |A_1A_3| \sin \alpha, \\ 2S_4 &= |A_1A_4| \cdot |A_1A_5| \sin (\gamma - \beta), \\ 2S_5 &= |A_1A_2| \cdot |A_1A_5| \sin \gamma, \end{align*}$$

36

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

$$2b = |A_1A_3| \cdot |A_1A_4| \sin(\beta - \alpha),$$
$$2a = |A_1A_2| \cdot |A_1A_4| \sin \beta,$$
$$2c = |A_1A_3| \cdot |A_1A_5| \sin(\gamma - \alpha),$$

откуда
$$S_1S_4 + bS_5 = k \left[ \sin \alpha \sin(\gamma - \beta) + \sin \gamma \sin(\beta - \alpha) \right],$$
$$ac = k \sin \beta \sin(\gamma - \alpha),$$
(2)

где $k = \frac{1}{4} |A_1A_2| \cdot |A_1A_3| \cdot |A_1A_4| \cdot |A_1A_5|$. Легко проверить точекство
$$\sin \alpha \sin(\beta - \gamma) + \sin \beta \sin(\gamma - \alpha) + \sin \gamma \sin(\alpha - \beta) = 0.$$
Позному, в силу (2),
$$S_1S_4 + bS_5 - ac = 0.$$

Подставляя в соответствии (3) вместе $a, b$ и $c$ их выражения через $x, S_1, S_2, S_3, S_4$ и $S_5$, получаем:
$$S_1S_4 + (x - S_1 - S_4)S_5 - (x - S_2 - S_4)(x - S_1 - S_3) = 0,$$
и, следовательно,
$$x^2 - x(S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5) + (S_1S_2 + S_2S_3 + S_3S_4 + S_4S_5 + S_5S_1) = 0.$$

Подставляя в это уравнение $S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = S, S_5 = 3S/2$, получим ответ заданий a): $x = 4S$ (см. рис. 10).

Приведенное нами решение задачи 6) предложил в 1824 году однофамилицznаменитого Гаусс — «приводный советник» Гаусс (Herr Hofrath Gauss). Оно опубликовано в журнале «Astronomische Berichte», 1824, т. 2, с. 343. В этом решении существенно использовется вы пуклость исходного пятугольника. Однако доказанный результат справедлив для произвольного пятугольника — и не только невыпуклого, но и такого, стороны которого самопересекаются (например, как на рисунке 11). Подробно об этом рассказано в статье А. Лопшца «Задча Мёбинуса и ее продолжение», «Квант», 1977, № 3.

А. Лопшца

Рис. 10.

Рис. 11.

38

Ф423. Масса воздушного шара вместе с волочцами за ним канатом равна M (рис. 18). Действующая на шар выткивающая сила равна $\vec{F}$, коэффициент трея каната о Землю μ. Сила сопротивления воздуха, действующая на воздуший шар, пропорциональна скорости шара относительной воздуха: $\vec{F}_c = -\alpha \vec{v}$. Наименское шара относительно Земли, если дуем горизонтальный ветер со скоростью $\vec{u}$.

Рис. 18.

Ф424. Для этого цмбы лампочки, расширянию на напряжение семи 110 в, включить в сеть с напряжением 220 в, можно воспользоваться резистом, который может быть включен по схемам a) и b) (рис. 19). Наименки к. п. д. каждой из схем. Сопротивление лампочки 1000 ом, а резистма 2000 ом.

Рис. 19.

На шар действуют пять сил (см. рис. 18): сила тяжеста $\vec{F}_T = M \vec{g}$, выталкивающая сила $\vec{F}$, сила сопротивления воздуха $\vec{F}_c$, сила реакции Земли $\vec{N}$ и сила треня со стороны Земли $\vec{F}_{Tp}$.

Обозначим через $\vec{v}'$ скорость шара относительно Земли.

Тогда
$$\vec{F}_c = -\alpha (\vec{v}' - \vec{u}).$$

Из условия, что воздуший шар движется равномерно в горизонтальном направлении, следует

$$|\vec{F}_c| - |\vec{F}_{Tp}| = 0$$

и
$$|\vec{F}| + |\vec{N}| - M |\vec{g}| = 0.$$

Кроме того,
$$|\vec{F}_{Tp}| = \mu |\vec{N}|.$$

С учетом того, что $\vec{F}_c = -\alpha (|\vec{v}'| - |\vec{u}|)$, из последних трех уравнений получим
$$|\vec{v}'| = |\vec{u}| - \frac{\mu}{\alpha} (M |\vec{g}| - |\vec{F}|).$$

А. Трубачев

Прежде всего оценим, в каком из двух случаев к. п. д. выше. В обих случаях напряжение на лампочке одно и то же, следовательно, одинаковы напряжения и на участке AB (см. рис. 19). Ток, текущий через лампу, тоже один и тот же в схемах a) и б), значит, ток на участке AB в схеме a) больше, чем в схеме b). Поэтому и потери мощности на участке AB в первом случае больше, чем во втором. Вдобавок в схеме a) обеспечено расходуется мощность на участке резистата BC.

Итак, потери мощности в схеме a) больше, а к. п. д., соответственно, меньше.

Тепер найдем конкретные значения к. п. д. в схемах a) и b). В первом случае мощность, выделяемая в лампочке, равна $\frac{U^2}{R_1} + \frac{R_2 R_\pi}{R_2 + R_\pi}$ (здесь $R_1$ — сопротивление участка резистата AB, а $R_2$ — участка BC). Тогда
$$\eta_1 = \frac{U^2}{U^2} \frac{R_1 + \frac{R_2 R_\pi}{R_2 + R_\pi}}{R_1}.$$

Для того чтобы подсчитать $\eta_1$, необходимо определить $R_1$ и $R_2$.

При последовательном соединении напряжения на отдельных участках цепи пропорциональны сопротивлениям этих участков:
$$\frac{U - U_\pi}{U_\pi} = \frac{R_1}{R_2 R_\pi}.$$

Кроме того,
$$R_1 + R_2 = R_p = 2R_\pi.$$

39

С учетом того, что $U = 2U_\pi$, из последних двух равенств получаем

$$R_1 = (2 - \sqrt{2}) \cdot 10^3 \text{ ом} \text{ и } R_2 = \sqrt{2} \cdot 10^3 \text{ ом}.$$

Позетом уравнения

$$\eta_1 = \frac{\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}+1)} \approx 0,3.$$

Во втором случае (в схеме 6)) напряжение на верхнем участке рестата равно $220 \text{ ом} - 110 \text{ ом} = 110 \text{ ом}$, то есть равно напряжение на лампочке. Это означает, что на этом участке выделяется такая же мощность, как и на лампочке. Следовательно,

$$\eta_2 = 0,5.$$

И. Соловейчик

Ф425. В пространство между пластнами независимо плоского конденсатора воспоминания металлической пластина, имеющей заряд Q. Между пластиной и обкладками конденсатора при этом оставится зазоры $l_1$ и $l_2$. Площадь всех пластин одинаковы и равны S. Определить разность попенциальной между обкладками конденсатора.

Рис. 20.

Ф426. В двумовой засесе из непрозрачных частей радиуса $r_1=5$ мкм при содержании массы вещества $m_1=0,04$ e в кубометре воздуха давления $l_1=50$ m. Сколько вещества в кубометре воздуха распылиется другим источником засеса, который создает частную радиуса $r_2=10$ мкм, если давимость сокращается до $l_2=20$ м?

Так как конденсатор не заряжен, его обкладки не участвуют в создании электрического поля. Поэтому поле внутри конденсатора создается только внешней заряженной пластиной.

Вудем считать, что линейные размеры пластины много большие ее толщины и толщин зазоров $l_1$ и $l_2$. Это означает, что электрическое поле — однородно. Его напряжение направлена от пластины, если $Q > 0$ (рис. 20), и к ней при $Q < 0$. По абсцилтной величины напряжения $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ в зазорах $l_1$ и $l_2$ одинаковы:

$$|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2| = \frac{|Q|}{2\varepsilon_0 S}.$$

Разность потенциальных между обкладками конденсатора равна работе, совершаемой электрическим полем, по перемещению единичного положительного заряда с одной обкладки на другую:

$$U_{12} = -|\vec{E}_1|l_1 + |\vec{E}_2|l_2 = \frac{|Q|}{2\varepsilon_0 S}(l_2 - l_1).$$

И. Словодецкий

Рассмотрим слой воздуха с двумом на пути светового пучка (рис. 21). Выберем $\Delta l$ настолько малым, чтобы в пределах этого случаяческки не было затенения одних частц других. Такой пологитит должно света, определяемого поперечным сечением $\Delta S$ всех частц, находящся в этом слое. В расчете на единицу поперечного сечения пучка получим

$$\Delta S = N\Delta l\pi r^2 = \frac{m}{4/3\pi r^3\rho} \Delta l\pi r^2 = \frac{m\Delta l}{4/3\rho},$$

где $N$ — число частц в единице объема, $\rho$ — плотность распыленного вещества.

Записем соответствие (*) для двух расматриваемых слуаев и найдем отношение толщин слоев, в которых поглощается одинаковая доля света:

$$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{m_2}{m_1} \frac{r_1}{r_2}.$$

Аналогичные соответствия можно записать для 2-х, 3-х,…, $n$-х слоев, в пределах которых вновь можно пребежать взаимным затенением частц. Если в первом слуае дальнейшее введение света с выбранным $\Delta l$ соответствием

40

Рис. 21.

Ф427. Две камушки с числами витков $n_1=125$ и $n_2=1000$ намотаны на мородальный ферромагнитный сердечник диаметром $d=5$ см и плочадью поперечного сечения $S=1$ см$^2$(рис. 22). По первой камушки местностной мок $I_1=1$ а, вторая камушка подключаена к галванометру. При размыкании цепи первой камушки через галванометр проходим заряд $q=10^{-3}$ к. Полное сопротивление цепи второй камушки $R=100$ ом. Определить магнитную проницаемость материала, из которого сделан сердечник.

Рис. 22.

$$l_1 = n\Delta l_1,$$
то и во втором случае, очевидно, $l_2 = n\Delta l_2$. Тогда можно записать

$$\frac{l_1}{l_2} = \frac{n\Delta l_1}{n\Delta l_2} = \frac{m_2}{m_1} \frac{r_1}{r_2}.$$

Отсюда

$$m_2 = m_1 \frac{r_2}{r_1} \frac{l_1}{l_2} = 0,2 \text{ e/m}^3.$$

В. Белончкин

При протекании по первой катушке электрического тока в сердечнике возникает магнитное поле. Индукция магнитного поля, созданного проводником с током, всегда пропорциональная слека тока в проводнике. Она зависит также от конфигурации проводника и от магнитной проницаемости среды.

Из сообщений симметрины оченьчно, что в тороне индукция магнитного поля одинакова по абсолотной величины во всех точках окружности, центр которого совпадает с центром torонада (см. рис. 22). Кроме того, поперечное сечение torонада мало. Таким образом, поле внутри torонада можно считать однородным. Строгий расчет, проведенный для данного случая, дает

$$|\vec{B}| = \mu_0 \frac{n_1 I_1}{\pi d},$$

где $\mu_0 = 4 \cdot 10^{-7} \text{ eH/m}$ — магнитная постоянная, $\mu$ — магнитная проницаемость материала сердечника.

Поток магнитной индукции через поперечное сечение torонада плочадью $S$ равен

$$\Phi = \left| \vec{B} \right| S = \mu_0 \mu \frac{n_1 I_1}{\pi d} S.$$

При размыкании цепи первого катушки магнитный поток будет уменьшаться. Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ поток уменьшится на $\Delta \Phi$. Во второй катушка возникнет электродвижущая сила индукции

$$|\mathcal{E}_2| = n_2 \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}$$

и получет так

$$I_2 = \frac{|\mathcal{E}_2|}{R} = \frac{n_2}{R} \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}.$$

За время $\Delta t$ через галванометр продает заряд

$$\Delta q = I_2 \Delta t = \frac{n_2}{R} |\Delta \Phi|.$$

Весь заряд, прошедший по цепи второй катушки, определяется полным изменением потока магнитной индукции:

$$q = \Sigma \Delta q = \frac{n_2}{R} \Sigma |\Delta \Phi| = \frac{n_2}{R} \Phi =$$

$$= \frac{n_1 n_2 \mu_0 \mu I_1 S}{\pi d R}.$$

Отсюда

$$\mu = \frac{q \pi d R}{n_1 n_2 \mu_0 I_1 S} = 1000.$$

В. Светозаров

42

Рис. 1.

симостъ между длинами диагоналей вписанного четырехугольника и длинами его сторон (теорема Птолемея *)).

После падения Римской империи (последняя четверть V в. н. э.) и распространения христанства, отрицавшего языческую науку и философию, центр научных исследований постепенно переместился в арабоязчные страны. Учены этих стран новые тригонометрические функции и усовершенствовали таблицы хорд.

Исследование же общих зависимости между величины начал в XIV веке французский ученый Николай Орсим. В его рукописях есть рисунки, наполняющие современные графики функции. Он даже пытался классифицировать эти графики. Однако продвинутся дальше ему помещало отсутствие общей алгебраической символики. Лишь после того, как в течение XVI века были развиты начала буквенной алгебры (Франсуа Виет), удалось сделать дальнейшие шаги.

Математika переменных величины

В XVI—XVII веках техническа, мореходство поставили задачи, недостатные для математики древности, имеющей дело с неподвижными объektами, с построными величиными.

В то же время стало распространяться убежление, что мир управляется законами природы, которые можно познать. Для формулирования

*) «Квант», 1976, № 7, c. 26.

этих законов и решения поставленных задач нужны были новые математические методы.

Одним из первых над созданием новых методов позначения мира задумался основатель динамки Галилео Галилео Галилео. Он размышлял о том, как меняется скорость падающего тела, по какому закону проискот колебание магнитка, как движется точка, расположенная на ободе катшего колеса.

Чтобы описать физические законы движения математических, нужно было ввести понятие переменной величины. Это сделал французский физиософ и математик Рене Декарт, живший в конце XVI и первой половине XVII века.

«Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величины. Благодаря этому в математике вошли движение и диалектика». (Ф. Энгельс).

Для записи зависимости между величины Декарт применял буквы, а отношения между неизвестными и известными величины выражали в виде уравнения.

Выбрав определенные единцы измерения, можно выразить все изучаемые величины числами. Следовательно, зависимость между величины переходит в зависимости между числами. Например, если вырабат в качестве единцы для измерения расстояний и проекторов времени метр и секунду, то зависимость пути, проеденного телом при свободном падении, от времени выразится формулой $s=1/2 gt^2$, где $g=9.81$. При изменении числа $t$ меняется число $s$, а потому эта формула связывает друг с другом числовые переменные $t$ и $s$.

Однако в течение долго времени избегали говорить о числовых переменных, а вместо них говорили о переменных величины. Чтобы отличить переменные величины, чтобы замерность длины, являются не числа 1, 2, 3, а 1 м, 2 м, 3 см и т. д.; причем, хотя 3 см и 0,03 м выражаются различными числами 3 и 0,03, все же 3 см=0,03 м.

Открытия Декарта для математики общей метод для изучения кривых. Теперь место геометрических рассмотрений, стол популярих у греческих математиков, заняло алгебра-

43

раничское исследование уравнения кривых, — геометрические свойства установливались алгебраические методами. Это был важный шаг на пути формирования общей и/enзависимости одних переменных величины от других. Многие кривые, которые изучены XVII века, возникли из практических задач — они были нужны для описания кучения зубчатых колес, движения мятника и т. д. Изучались и графики элементарных функций — синусоида, тангенсида и т. д.

Рождение термина

В науке часто бывают, чтоdlительное время применяется to или иное понятие, но оно фигурирует лишь неявно, не имея определенного назначения — какый ученный называет его посвоему. Из-за этого один и те же расчетные повторяются какдый раз заново. Введение нового термина приводит к уточнению соответствующего понятия, освобождению его от всего случайного и несущественного, к выявлению общих черт в расчетныхениях, проводившихся независяimo друг от друга в различных областях науки.

С 1673 года знаменитый немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбн и ищал использовать в своих рукописях слово «функция». Однако он употреблял этот термин в очень узком смысле, у него речь шла лишь об отрезках касательных к кривым, об их проекциях на оси координат и о «другого рода линиях, выполняющих для данного фигуры некоторую функцию» (от латинского «функтус» — выполнять).

Иоганн Бернул и, один из первых учеников Лейбница, дал определенное функцию, свободное от геометрических терминов: «функцией переменной называется колесностью, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных». Это определение приводило в восхитение представлено Лейбница: он угадал, что отход от геометрической терминологии знаменует новую эпоху математики — это изучения функций как самостоятельных объектов, притом основанного на числах, а не на геометрии.

Под «каким уголно способом» во времяена Бернулли понимали аргументические операции, операции извлечения корней, трионометрические и обратные трионометрические, показательные и логарифмические «операции», а также их различные комбинации. Такие функции теперь называют «элементарными» (их сейчас изучают в школе).

В XVII и, особенно, в XVIII века математики стали рассматривать функции, получаемые суммированием бесконечного множества элементов функций. Это приводило к расширению класса изучаемых функций. Один из самых замечательных математков XVIII века член Петербургской академии наук Леонард Эйлер определял функцию так: «когда некоторые величины зависит от других таких образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». В одной из работ он говорит даже о графике функции, как о кривой, начерченой «свободным движением руки».

Спор о понятии функции

Вопрос, что же такое функция и как связанные между собой понятия функции и ее аналитического выражения, привлек к себе внимание математков в связи со спором, в котором приняли участие виднейшие учены XVIII века — Эйлер, Даламбер, Д. Бернулли и многие другие.

Решая задачу о колебанях структуры, Эйлер и Даламбер получили ответ, в котором входила некоторая функция. Эта функция была связана с первоначальной формулой колебаншей структуры. Эйлер считал, что первоначальное отклонение структуры от положения равновесия может задавать на разных участках структуры разными формулами, например так:

$$y = \begin{cases} ax, \text{ если } 0 \leq x < \frac{l}{2}, \\ a(l-x), \text{ если } \frac{l}{2} \leq x < l \end{cases}$$

(l — длина структуры). Даламбер же считал, что такие функции недопу