48
Все началось с письм.
Письмо первое. «Здравствуй, Андрей! У нас в школе недавно была олимпiad по математике. Я решил все задачи, только в последней я не уверен. Некогда было проверить, все ли числа я нашел; да если бы и было время — все равно не стал бы перебирать все дузначные числа, потому что скучно это! Порешай и напиши, какие у тебя будут ответы, а то я сомневаюсь. Вот эта задача.
В некоторых двухначном числе зачеркнул цифру, и оно уменьшилось в 31 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнул?
У меня получилось три ответа: 31, 62, и 93, причем зачеркивать надо первою цифру. Серрей».
Письмо второе. «Здравствуй, Сережка. Ты дал правильный ответ и, если ты так договора, то реши нашу олимпiadную задачу.
Трехначное число больше двухначного, записанного его последним числом, в 26 раз. Найти это число. Сколько всего существует максим чисел? Андрей».
Получив это письмо, Сережка обращалась, а потом попробовал решить задачу Андрей. Но на этот раз договора не приходила, хотя Сережка испытыл много чисел,probовал составлять их сам. Тогда он подумал, что, может быть, задачу можно решить уравнением. Но что принять за x? Трехначное число? А как тогда записать условие задачи?
Вдруг его «осенило», что все числа записьвают с помощью лише десяти цифр. В задаче неизвестно трехначное число. Вот и три неизвестных:
число сотен — x,
число десятиков — y,
число единиц — z.
А условие задачи записется так:
100x + 10y + z = 26(10y + z),
или, после упрощений,
4x = 10y + z.
Тут Сережка снова призадумался — уравнение одно, а неизвестных три. Но как только он вспомнил, что x, y, z — цифры, дело опять пошло. В последнем равенстве справа стоит 10y + z — двухначное число, значит и слева 4x — тоже двухначное число. Так будет лишь при x = 3, 4, …, 9. И сразу получается ответ:
| x | 10y + z | y | z | Ответ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| 3 | 12 | 1 | 2 | 312 |
| 4 | 16 | 1 | 6 | 416 |
| 5 | 20 | 2 | 0 | 520 |
| 6 | 24 | 2 | 4 | 624 |
| 7 | 28 | 2 | 8 | 728 |
| 8 | 32 | 3 | 2 | 832 |
| 9 | 36 | 3 | 6 | 936 |
Теперь уже Сережка не сомневался, что нашел все числа. Потом он и свою зачеркнуть, а Андрей попросил прислать еще задачи. Вот они.
Задание и
-
Найти все двухначные числа, которые делятся на а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6; е) 7; ж) 8; з) 9, и при этом дают частиные, равные сумме цифр делимого.
-
В записи трехзначного числа все цифры различны и нуля среди них нет. Цифры этого числа наали менять местами, и все получающей при этом (различные) трехначные числа сложили. Доказать, что эта сумма делится на 222.
Верно ли это утверждение, если в записи исходного трехзначного числа встречются одинаковые цифры или есть нуль?
- При делении неокоторого двухначного числа на 6 в остатке получилось число, равное первой цифре делимого, а при делении того же числа на 10 остаток был равен второй цифре числа, а частное — 3. Найти все такие числа.