Арифметика с геометрией

31

…, $a_n$ с наиболее длиной суммы.

Упражнение 10. Докажите, что все векторы из $B$ «смотрит в одну сторону», т. е. образуют с некоторой осью остые углы.

Назовем псевдопроекция вектора $p$ на ось $l$ обычную проекцию, если угол между $p$ и $l$ — острый, и число $0$ — в противном случае. Фиксируем некоторую ось $l_0$. Пусть $l_\alpha$ — ось, образующая с осью $l_0$ угол $\alpha$. Положим

$$g(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{ если } \cos x > 0, \\ 0, & \text{ если } \cos x \leq 0. \end{cases}$$

Упражнение 11. Проверьте, что $\int_0^{2\pi} g(\varphi - \alpha) d\alpha = 2$ при любом $\varphi$.

Если $\varphi$ — угол между вектором $p$ и осью $l_0$, то псевдопроекция этого вектора на ось $l_\alpha$ равна $|p|g(\varphi - \alpha)$.

Обозначим сумму псевдопроекций векторов $a_1, a_2, \ldots, a_n$ на ось $l_\alpha$ через $f(\alpha)$.

Упражнение 12. Докажите, что среднее значение функции $f$ на отрезке $[0; 2\pi]$ равно $\frac{1}{\pi}$.

Упражнение 13. Докажите, что ось $l_\alpha$ можно выбрать так, что сумма псевдопроекций данных векторов на эту ось будет не меньше $\frac{1}{\pi}$.

Упражнение 14. Докажите утверждение задачи 4.

Константу $\frac{1}{\pi}$ в задаче 4 нельзя заменить никакой большей констаной. В этом можно убедиться, взяв достаточно большое $n$ и векторы, идущие по сторонам правильно $n$-угольника.

Если в задаче 4 заменить $\frac{1}{\pi}$ на $\frac{1}{4}$, соответствующое утверждение будет верно и для векторов в пространстве.

Арифметика с геометрией

a) Найдите длины сторона квадрата и равностороннего треугольника, изображенных на рисунке, если в формулах, выражающих длины сторона, каждой буквой запищена некоторая цифра.

b) Решите ту же задачу для одного ромба, изображенного на следующем рисунке.

В. Радунский