Среднее значение функции

26

Среднее значение функции

В этой статье понятие среднего арифметического $n$ чисел обобщается на функции, определяемые на отрезке, окружности и сфере. Кроме того, в ней решается задача М394 («Квант», 1976, № 7).

1. На конечном множестве

Выступая на классном собрании, Макар Ливанов сказал: «Давайте бороться за то, чтобы успеваемость каждого ученика нашего класса была выше средней!». Видимо, Макар не очень хорошо знал математику. Давайте разберемся.

Как известно, средним арифметическим $n$ чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ называется число $M = M(x_1, x_2, \dots, x_n)$, задаваемое равенством

$$M(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.$$ (1)

Следуя признаву Макара, мы должны были бы добиться одновременного выполнения неравенств $x_1 > M, x_2 > M, \dots, x_n > M$. Сложив эти $n$ неравенств, мы получим противоречие с (1).

Отметим неокоторые важные свойства среднего арифметического:

I. $M(x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n) = M(x_1, x_2, \dots, x_n) + M(y_1, y_2, \dots, y_n)$.

II. $M(\alpha x_1, \alpha x_2, \dots, \alpha x_n) = \alpha M(x_1, x_2, \dots, x_n)$.

III. $\min(x_1, x_2, \dots, x_n) \leqslant M(x_1, x_2, \dots, x_n)$.

У пряжене 1. Докажите свойства I—III.

У пряжене 2. Докажите для $n > 1$ неравенство $C_{2n}^n > \frac{2^{2n-1}}{n}$. Это легко сделать метод математической индукции, но можно — при помощи свойства III.

Свойство III часто используется следующим образом: чтобы установить, что средние $x_1, x_2, \dots, x_n$ есть числа, большее числа $d$, достаточно проверить, что $M(x_1, x_2, \dots, x_n) > d$. Расмотрим, например, задачу, предлагавшуюся на X Всесоюзной математической олимпиде.

Задача 1. На круглом столе как-то лежат 50 правильно идущих круглых часов. Докажите, что в некоторых моментах сумма расстояний от центра стола $O$ до концов минутных стрелок в момент времени $t$ час, а через $d$ сумма расстояний от точки $O$ до центра часов. Требуется доказать, что $f(t) > d$ в некоторых моментах $t$. Мы показем, что существует $t_0$, для которой $M(f(t_0), f(t_0 + \frac{1}{2})) > d$.

Значит, один из моментов $t_0$, $t_0 + \frac{1}{2}$ — исключый.

Обозначим через $O_i$ центр $i$-х часов, через $A_i$ — конец минутной стрелки этих часов в некоторых моментах $t$, через $B_i$ — конец минутной стрелки тех же часов через полчаса, т. е. в момент $t + \frac{1}{2}$. Поскольку по условияю все часы «правильно идут», найдется такой момент $t_0$, в которых точки $O, A_1$ и $B_1$ не лежат на одной прямой. Расмотрим треугольник $OA_1B_1$ и медиану $OO_1$ в нем (рис. 1). Легко доказать, что в любом треугольнике длина медианы меньше полусуммы длины сторонон, между которых она заключена (докажите!). Поэтому в момент $t_0$ мы имеем

27

Рис. 1.

$$\frac{OA_1 + |OB_1|}{2} > |OO_1|.$$ Для остальных часов в этот момент $$\frac{|OA_i| + |OB_i|}{2} \geq |OO_i|$$ (почему только $\geq$, а не >?). Сложив 50 неравенств, получим $M(f(t_0), f(t_0 + \frac{1}{2})) > d$.

2. На отрезке

В задаче 1 оказалось достаточно оценить среднее арифметическое двух значений функций. А нельзя ли рассмотреть среднее всех значений? Чтобы подобить определению этого понятия, придамим геометрический смысл среднему $n$ положительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Разобъем какой-нибудь отрезок $[a; b]$ на $n$ равных частей и построим ступенчатую функру, состояшую из прямогольников, основаниями которых служат получившиеся отрезки длины $\frac{b-a}{n}$, а высоты равны, соответственно, $x_1, x_2, \dots, x_n$ (рис. 2). Площадь этой ступенчатой функции равна $M(x_1, x_2, \dots, x_n) \cdot (b-a)$. Таким образом, $M(x_1, x_2, \dots, x_n)$ — это высота прямогольника с основанием $[a; b]$, равновеликого соответствующей кривой нейной трапеции (рис. 3). Поскольку в рассматриваемом случае площадь

Рис. 2.

это трапеции равна $$\int_a^b f(x) \, dx$$ («Алгебра и начала анализа 10», п. 101), $M(f)$ определяется формулой

$$M(f) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx. \quad (2)$$

Определение (2) годится не только для непрерывной и неотрицательной функции, но и для любой функции, определяенной на $[a; b]$, для которого права часть равенства (2) имеет смысл.

Так определение среднее значение обладает свойствами, аналогичными свойствам I—III:

I’. $M(f + g) = M(f) + M(g)$.

II’. $M(\alpha f) = \alpha M(f)$.

III. $$\min_{[a; b]} f \leqslant M(f) \leqslant \max_{[a; b]} f.$$ Уражение 3. Докажите свойства I’—III'.

Уражение из I’—III’ свойства IV’. Если $f(x) \leqslant g(x)$ для всех $x \in [a; b]$, то $M(f) \leqslant M(g)$.

Со средним значением функции на отрезке вы уже стalkивались в заметке А. Виленкина «Игла Бюфона» («Квант», 1977, № 5). Приведем еще один пример применения этого понятия.

Задание 2. На плоскости данных векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$, сумма которых равна 0. Докажите неравенство

$$|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| + |\vec{d}| \geqslant |\vec{a} + \vec{d}| + |\vec{b} + \vec{d}| + |\vec{c} + \vec{d}|. \quad (3)$$

Наше решение этой задачи будет опираться на ее одномерный вариант:

28

Рис. 3.

Упражнение 5. Докажите, что если $a, b, c, d$ — действительные числа, сумма которых равна 0, то $|a| + |b| + |c| + |d| \geq |a+d| + |b+d| + |c+d|$.

Решение. Если в (3) векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ заменить их проекциями на какую-нибудь ось («Геометрия 9»), получится (4). Возникает идея: доказать (3), рассматривая проекции данных векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ на всевозможные оси. Попробуем ее реализовать.

Пусть $\vec{p}$ — вектор. Введем вспомогательную функцию $p$ следующим образом: фиксируем некоторую ось $l_0$; обозначим через $p(\alpha)$ проекцию вектора $\vec{p}$ на ось $l$, образующую с осью $l_0$ угол $\alpha$ (рис. 4). Если $\varphi$ — угол между вектором $\vec{p}$ и осью $l_0$, то $p(\alpha) = |\vec{p}| \cos(\varphi - \alpha)$.

Рассмотрим среднее значение $M(|p|)$ функция $\alpha \rightarrow |p(\alpha)|$ на отрезке $[0; 2\pi]$. Из определения (2)

$$M(|p|) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |p(\alpha)| d\alpha =$$

$$= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |\vec{p}| \cos(\varphi - \alpha)| d\alpha =$$

$$= \frac{|\vec{p}|}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |\cos(\varphi - \alpha)| d\alpha.$$

Покажем существование такого $k \neq 0$, что для любого вектора $\vec{p}$ справедливо равенство

$$M(|\vec{p}|) = k |\vec{p}|.$$

(6)

В силу (5) достаточно доказать, что интеграл $\int_{0}^{2\pi} |\cos(\varphi - \alpha)| d\alpha$ не зависит от вектора $\vec{p}$, то есть не зависит от угла $\varphi$.

$$\int_{0}^{2\pi} |\cos(\varphi - \alpha)| d\alpha = \int_{0}^{2\pi} |\cos(\alpha - \varphi)| d\alpha =$$

$$= \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha = \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha =$$

$$= \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha + \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha + \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha + \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha.$$

(7)

В этой выкладке использованы два свойства интегралов:

$$\int_{a}^{b} f(x + p) dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) dx,$$

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$$

29

«Алгебра и начала анализа 10», п. 106 и задача № 512). Центральным местом выкладки является использование того факта, что $2\pi$ — период функции $\alpha \rightarrow \cos \alpha$.

Интеграл $\int_0^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha$ вычислить (он равен 4), но нам важно лишь то, что он не зависит от $\varphi$ и отличен от 0.

Если $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$, то для любого $\alpha$ имеем $a(\alpha) + b(\alpha) + c(\alpha) + d(\alpha) = 0$. В силу (4)

$$|a(\alpha)| + |b(\alpha)| + |c(\alpha)| + |d(\alpha)| \geq |a(\alpha) + d(\alpha)| + |b(\alpha) + d(\alpha)| + |c(\alpha) + d(\alpha)|.$$

(8)

Поскольку (8) выполняно для любого $\alpha \in [0; 2\pi]$, из свойств IV’ и I’ вытекает

$$M(|a|) + M(|b|) + M(|c|) + M(|d|) \geq M(|a+d|) + M(|b+d|) + M(|c+d|).$$

Из (6)

$$k|\vec{a}| + k|\vec{b}| + k|\vec{c}| + k|\vec{d}| \geq k|\vec{a}+d| + k|\vec{b}+d| + k|\vec{c}+d|.$$

Сократив на $k$, получаем (3).

3. На окружности и сфере

Задание 3. В пространстве данных векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$, сумма которых равна 0. Доказите для них неравенство (3).

Хотелось бы доказать (3) переменем «плоского расчудения» (из задания 2) в пространство. Для этого надо как-то определить среднее значение модели проекций вектора на всевозможные оси в пространстве. Чтобы посяснить, как это делается, рассмотрим сначала функцию, определяемые на окружности единичного радиуса.

Пусть $f$ — такая функция. Для произвольного $\alpha$ положим $f(\alpha) = f(A)$, где $A$ — конец пути нашей окружности с радианной мерой $\alpha$ (рис. 5). Таким образом, произвольной функции $f$, заданной на единичной окружности, мы поставили в соответствии неокоторую функцию $f$,

определенную на всей прямой. Очевидно, $f$ — периодическая функция с периодом $2\pi$. Определим теперь среднее значение $M(f)$ функции $f$ на окружности как среднее значение функции $f$ на отрезке [0; 2π].

В приведенном решении задачи 2 ключевую роль играла неравенство среднего $M(|p|)$ от направления вектора $p$. Эта неравенство есть частьный случай следующего общего свойства средних значений функции на окружности:

$V'$. Пусть $f$ и $g$ — функции, определяемые на окружности, причем существует максимум $\alpha$, что для любих $A$ окружности $g(A) = f(R^\alpha(A))$ (десь $R^\alpha$ — поворот вектора данной окружности на угол $\alpha$). Тогда $M(g) = M(f)$.

Упражнение 6. Докажите свойство $V'$.

Переход к задаче 3, рассмотрим в пространстве сфера единичного радиуса с центром в начале координат $O$. Для функции, заданных на этой сфере, можно так определить среднее значение, чтобы свойства $I$ — $V'$ выполнялись. Мы не можем здесь обьясить, как это делается, так как для этого пришлось бы ввести интеррирование по сфере. (Это можно сделать с помощью интерральных сумм примерно так же, как определяется интерраЛЬ на прямой в п. 104 учебника «Алгебра и начала анализа 10».) Допустим, что среднее значение $M(f)$ функции $f$ на сфере как-то определено, причем свойства $I'$ — $V'$ выполняются. (Таким образом, мы как рассматриваем аксиоматическое задание среднего значения функции

30

цини на сфере. Интересно отмечить, что «аксиомами» $I' - V'$ оно определяется однозначно.)

Пусть $p$ — вектор. Введем вспомогательную функцию $p$ следующим образом: для любой точки $A$ нашей сферы обозначим через $p(A)$ проекцию вектора $p$ на ось, определяемого вектором $\vec{OA}$.

Рассмотрим среднее значение $M(|p|)$ функции $A \rightarrow |p(A)|$ на сфере. Покажем существование такого $k \neq 0$, что для любого вектора $p$ выполняется (6). Для этого, выду свойства $II'$, достаточно доказать, что $|\vec{p}| = |\vec{q}|$ влечет $M(|p|) = M(|q|)$.

У практике 7. Покажите, что это достаточно.

Пусть $|\vec{p}| = |\vec{q}|$. Обозначим через $R$ какой-нибудь поворот пространства векруг оси, проходящий через точку $O$, который переводит луч с направляющим вектором $\vec{q}$ в луч с направляющим вектором $p$. тогда для любой точки $A$ сферы $q(A) = p(R(A))$. Из $V'$ вытекает $M(|q|) = M(|p|)$.

Дальнейшее решение задачи 3 должно повторяет решение задачи 2. (Упражнение 5 и задачи 2, 3 исчерлыют задачу М394.)

4. Длина через ширину

Идею, на котором основано решение задачи 2 и 3, можно использовать для вычисления длины плоской замкнутой выпуклой ломаной.

Пусть $J$ — такая ломаная, $a_1, a_2, \dots, a_n$ — ее звенья. Фиксируем некоторую ось $l_0$. Пусть $l_\alpha$ — ось, образующая с осью $l_0$ угол $\alpha$. Обозначим через $Ш(\alpha)$ «ширину» нашей ломаной в направлении оси $l_\alpha$, т. е. длину ее проекции на ось $l_\alpha$. Оказывается, если знать «ширину» ломаной $J$ в произвольном направлении, т. е. уметь вычислять функцию $\alpha \rightarrow Ш(\alpha)$, то можно найти ее длину $L$. Покажем, как это сделать.

Обозначим через $a_i(\alpha)$ длину проекции звена $a_i$ на ось $l_\alpha$.

У практике 8. Докажите, что $Ш(\alpha) = \frac{1}{2} [a_1(\alpha) + a_2(\alpha) + \dots + a_n(\alpha)]$.

В решении задачи 2 было показано, что среднее значение функции $\alpha \rightarrow a_i(\alpha)$ пропорционально $|a_i|$. Из (5) и (7) коэффициент пропорциональноности равен $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha = \frac{2}{\pi}$.

Из упражнения 8 и свойств $I'$, $II'$ среднее значение $M(Ш)$ функции $Ш$ равно получиме средних значений функции $\alpha \rightarrow a_i(\alpha)$. Следовательно,

$$M(Ш) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{\pi} |a_1| + \right. \\ + \frac{2}{\pi} |a_2| + \dots + \frac{2}{\pi} |a_n|) = \\ = \frac{1}{\pi} \left( |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n| \right) = \frac{1}{\pi} L.$$

Отсюда и из (2)

$$L = \pi \cdot M(Ш) = \pi \cdot \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} Ш(\alpha) d\alpha = \\ = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} Ш(\alpha) d\alpha (9)$$

Таким образом, зная функцию $Ш$, мы можем найти длину $L$ ломаной $J$.

У практике 9. Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей выпуклого многоугольника меньше $d$, то его перimeter меньше $πd$.

Формула (9) справедлива для любой плоской замкнутой выпуклой кривой. Изложенный метод определения длины «через ширину» предложил в 1930 году известный полский математик Г. Штейнгуз.

5. Длина суммы

Задча 4. На плоскости данных векторы $a_1, a_2, \dots, a_n$, сумма длины которых равна 1. Докажите, что средние можно выбрать несколько векторов, длина суммы которых не меньше $\frac{1}{\pi}$.

Решите эту задачу, следуя предлагаемому ниже плану. Пусть $3$ — подмножество множества $\{a_1, a_2, \dots\}$.