О правильных многоугольниках, функции Эйлера и числах Ферма

2

1. Пролог

Задачи на геометрические построения — один из самых популярных в школьной математике. Почти в каждом математическом кружке разбиаются такие задачи. Это, конечно, не случайно. История геометрических построений насчитывает несколько тысяч лет, и уже древние греки достигли здесь большого искусства. В качестве примера можно привести задачу Аполлония: построить округность, касающийся трех данных окружности *).

Многим, вероятно, известны три значенные задачи древности, оказывающиеся неразрешными: о квадрату круea, трисекции уела и увоенii куба **).

Но, пожалуй, самой красивой является задача о построении правильных многоугольников. Собственно говоря, это не одна задача, а целая серия задач: для каждого натурального числа n ≥ 3 требуется с помощью циркуля и линейки построить правильный n-угодный.

Есть ли какая-нибудь закономерность в распределении «кrasных» и «черных» чисел? Оказывается, есть; но найти ее довольно трудно. Эта закономерность имеет арфметическую природу; чтобы ее описать, нам придется временно оставить геометр-

*) См. статью «Инверсия и задача Аполлония» («Квант», 1971, № 8).

**) По поводу последних двух задач см. статью «Циркулем и линейкой» («Квант», 1975, № 6).

*) Способ построения циркулем и линейкой правильного семнадцатугольника впервые был открыт К. Ф. Гауссом в 1801 году. Этот способ описывается в статье «Дебют Гаусса» («Квант», 1971, № 1).

6

санная и три внешписанные окружности), причем все эти ответы равноправны, если формулировать задачу так: построить окружность, касающуюся трех данных прямых. Отличие вписанной окружности от внешисанных основано на понятии «между» (или «внутри») и недоступно пониманию нашей машины.

Разбранные примеры показывают также, что если задача на построение имеет несколько решений, то программа построения дает все эти решения. Это утверждение также справедливо в общем случае.

Почитательный пример: геометрическое построение одного из корней квадратного уравнения автоматически приводит к построению и второго корня.

Таким образом, мы приходим к следующему прин и пу.

Всякая задача на построение, разещая с помощью циркуля и линейки, имеет 2’ решение.

Строое доказательство этого утверждения дается теорией Галуа и не может быть изложено в этой статье. Однако само утверждение выглядает очень просто и в полное могло быть открыто математиками древности. Возникает вопрос, почему же это открытие было сделано лишь в прошлом вке, хотя многое подтверждающее примеры известны уже несколько тысячелетий? (Например, упоминавшаяся выше задача Аполлоння имеет 8 решения.)

Одна из возможных причины — отсутствие современной, «машинной» построовки задачи. Другая причина — рассмотрение каждой задачи в отдельности вместе с целью однотипных задач (вроде задач на построение правильного n-угольника для каждой n).

Возможно, эта тема привлечет внимание историков математики, и они полезнее обязывают нам приину этой «упущенной возможности».

4. Правильные многоугольники

Вернемся к нашей основной задаче. Мы хотим знать, когда с помощью циркуля и линейки можно построить правильный n-угольник. Рассуждение предыдущего параграфа наводят на мысль — посмотреть, сколько решений имеет эта задача. Чтобы получить результаты ответ, нужно уточнить построовую задачи. А именно, нужно

Рис. 5.

фиксировать размер и положение правильного n-угольника (инначе, разумеется, число решений будет бесконечно, при условии, что есть хотя бы одно решение). Итак, будем считать, что наш n-угольник вписан в данную окружность о с центром O, и фиксированное положение A₀ одной его вершины. Требуется определить положения A₁, A₂, …, Aₙ−1 остальных вершин. Разумеется, достаточно найти положение точки A₁ — откладывая последовательную дуг A₀A₁, мы получим точки A₂, A₃, A₄ и т. д.

Проще всего эта задача решается при n = 6. Известно, что сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу данной окружности. Поэтому нужно «программа» выглядить так (рис. 5):

1. Циркулем построить из точки A₀ окружность ω₁ радиуса |OA₀|.
2. Отметим точку A₁ пересечения окружности ω и ω₁.

Мы видим, что эта программа приводит к двум разным ответам, но соответствующие шестиугольники A₀A₁′A₂′A₃′A₄′A₅′ и A₀A₁′A₂′A₃′A₄′A₅′ отличаются лишь порядком номерации вершин.

Такая же ситuation наблюдается в случае n = 3 и n = 4. Более интересны случаи n = 5 и n = 10. Способ построения правильного пятугольника описан в статье A. Савина «Как нарисовать пятоконечную звезду» («Квант», 1976, № 1). Мы разберем здесь случай n = 10.

7

Рис. 6.

Если проведится биссектрису $A_1B$ угла $OA_1A_0$, то образовашиеся треугольники $OA_1B$, $BA_1A_0$ будут равноведренными (рис. 6), а треугольники $OA_1A_0$ и $BA_1A_0$ — подобными.

Будем считать прямую $OA_0$ числовой осью, на которой точка $O$ соответствует нулю, а точка $A_0$ — единицу. Пусть точка $B$ соответствует числу $x$. Тогда мы получаем уравнение:

$$\frac{x}{1-x} = \frac{1}{x} \text{ или } x^2 + x - 1 = 0.$$

Решив это уравнение, мы найдем точку $B$. Искомая точка $A_1$ найдется как точка пересечения данной окружности $\omega$ с окружностью с центром в точке $A_0$ и радиусом длины $x$. Таких точек две — и мы получаем два решения: точки $A'_1$ и $A''_1$ (рис. 6).

Но у нашего квадратного уравнения два корня: $x_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$. Второй корень отпuisателен и по этой причине вроде бы не годится. Однако не будем спешить «отбрасывать» этот корень, а попробуем понять его геометрический смысл.

Восстановим рисунок 6, считая, что точка $B$ находится не справа, а слева от точки $O$. Мы получим рисунок 7. Это дает для искомой точки $A_1$ еще два возможных положения: $A''_1$ и $A'_1$.

Итак, мы пришли к четырем различным возможностям для точки $A_1$.

В результате получаются два разных десятиугольника: выпуклый и звездчатый, причем на каждой из них возможно две разные нумерации вершин (см. рисунки 6 и 7).

Заметим, что с «точки зреня» циркуля и линейки звездчатый десятиугольник ничего не хуже выпуклого.

Возможно возражение: у выпуклого многоугольника несмежные стороны не пересекаются, а у звездчатого — пересекаются. Но это возражение отпадает, если мы стороны будем называть не отрезок между двумя вершинами (поняття «между» у нас нет!), а всего прямую. Тогда правильный чертеж «выпуклого» десятиугольника будет иметь вид, лишь размер отличнойся от «взездчатого» (рис. 8).

Аналогичная ситuation возникает в случае пятнутrogольков. Здесь тоже имеется 4 решения, приводящих к двум различным пятнутrogолькам (рис. 9, а, б) с двумя различными нумерациями вершин на каждой.

8

Теперь, не решая явно задачи на построение произвольного правильного $n$-угольника, попробуем установить, сколько у нее различных решений. (Напомним, что мы считаем заданным окружность $\omega$ и точку $A_0$ на ней.) Обозначим через $x$ длину дуги $A_0A_1$. Точка $A_1$ является решением задачи (с точки зреня циркуляя), если, откладывая дуг длины $x$ от точки $A_0$ последовательно $n$ раз, мы вернемся в исходную точку $A_0$, а откладываем меньше число раз — не вернемся.

Последняя оговорка существует. Иначе в случае, например, $n=6$ нам пришлось бы назвать «правильным вписанным шестугольником» дважды пройденный треугольник, или трижды пройденный диаметр, или даже шесть раз повторенную точку $A_0$.

На языке арифметики, принимая длину всей окружности за единицу, нашей условие можно формularовать так: число $nx$ — целое, а числа $x$, $2x$, $3x$, …, $(n-1)$ $x$ — не целые. Если $n=10$, то в качестве $x$ можно взять, например, 1/10. Но это не единственный возможный выбор. Можно взять $x$ также равным 3/10, 7/10 или 9/10.

Это соответствует тем четырем решениям, которые мы раныше нашли геометрическим способом. Заметим, что если взять в качестве $x$ число 11/10 (или 13/10, 17/10, …), то новых геометрических решений мы не получим: положение точки на окружности зависит от самого числа $x = \frac{k}{n}$, а от остатка, который дает $k$ при делении на $n$.

Ясно, что несократимые дроби $\frac{m}{n}(m<n)$ и только они обладают тем свойством, что $k \cdot \frac{m}{n}$ попадает в целое число (в начальном точку окружности) лишь при $k=n$. Таким образом, каждое число, меньше $n$ и взимо проектием с ним, дает решение задачи о правильном $n$-угольнике, и мы получаем, что число различных решений этой задачи дается функцией Эйлера (см. п. 2)! В частности,

$$\varphi(3) = \varphi(4) = \varphi(6) = 2,$$
$$\varphi(5) = \varphi(10) = 4,$$

что согласуется с результатами, полученными выше геометрическим путем.

Вспомним теперь, что всякая разрешная задача на построение с помощью циркуля и линейки должна быть $2^l$ различных решений (см. п. 3), мы получим удобное необходимое условие для разрешности задачи построения правильного $n$-угольника.

Правильный $n$-угольник допускает построение циркуля и линейкой молко моеda, коеда $\varphi(n) = 2^l$ для некоморого целого $l$.

(Например, правильный семиугольник построить невозможно, так как число $\varphi(7) = 6$ не является степенью двойки.)

Необходимость этого условия мы построались объяснить. То, что оно является также и достаточно,— от-