Bạn có thể chứng minh điều đó không? - Anh không thể chứng minh được điều đó!

38

E. Semenov
BẠN CÓ THỂ CHỨNG MINH ĐƯỢC KHÔNG?

• KHÔNG THỂ CHỨNG MINH được!

• Bố ơi, bố ơi! Sóc có ăn hạt thông không?

• Vâng, con gái.

• Gỗ tuyết tùng có phải là một loại cỏ không?

• Cậu đang nói cái gì thế, Tanyusha! Cây tuyết tùng là một cái cây!

• Nếu con sóc của tôi không phải là con rối mà là con thật thì tôi sẽ đưa nó vào rừng, còn nếu con sóc này nhảy lên cây nào đó thì đó là cây tuyết tùng.
  (Từ cuộc trò chuyện của cô bé Tanyusha)

Thật khó để nói chúng ta bắt đầu tham gia vào bằng chứng ở độ tuổi nào. Có thể từ lúc chúng ta bắt đầu mắc lỗi và cố gắng nói, khi chúng ta biến búp bê của mình thành anh hùng trong truyện cổ tích, trộn lẫn giữa tưởng tượng của trẻ em “với hiện thực của người lớn”. Một ví dụ là cuộc trò chuyện vừa được trích dẫn. Bạn có thể nhận thấy rằng cuộc trò chuyện của cô bé Tanya có chứa bằng chứng (có lẽ là lần đầu tiên trong đời cô bé). Hãy nhìn xem, cô ấy tin rằng:

1. một con sóc ăn hạt thông;
2. tuyết tùng là một cái cây;
3. Một con sóc đã trèo lên cây này.

Trên cơ sở đó, Tanya lựa chọn cây này là cây tuyết tùng. Đúng, kết luận của Tanya là sai. Để lựa chọn này là chính xác, cần có thêm một điều kiện:

4. nếu cây không phải là cây tuyết tùng thì con sóc sẽ không leo lên cây đó (nếu không: trong tất cả các cây, con sóc trèo sữa lên cây tuyết tùng).

Tuy nhiên, chúng ta hãy xem xét chứng minh của Tanino từ phía bên kia. Cô ấy có ba điều kiện được liệt kê theo ý của mình. Có thể dựa vào chúng mà không cần sử dụng bất kỳ điều kiện nào khác để chứng minh sự lựa chọn kết quả không? - Tất nhiên là không! Còn việc bác bỏ thì sao? - Cũng không! Có thể cái cây mà con sóc trèo lên là cây tuyết tùng, và khi đó kết luận là đúng, nhưng con sóc cũng có thể có sức mạnh trên bờ, và khi đó kết luận đó là sai. Một nhà toán học sẽ nói rằng kết luận của Tanya độc lập với ba điều kiện của cô ấy.

Chưa hết… ngay cả ở độ tuổi lớn hơn, đôi khi chúng ta cũng mắc phải những sai lầm tương tự. Bạn có nghi ngờ gì không? Sau đó hãy nghe câu chuyện đó

39

đã xảy ra với cậu học sinh lớp sáu yếu đuối Stepa Moshkin và các bạn của cậu khi cậu đang học hình học.

1. Styopa và những người bạn đang tìm kiếm bằng chứng

—Tính chất thứ ba của khoảng cách thật đáng ngờ! Tại sao nó đưa ra mà không có bằng chứng? Mỗi trong số chúng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng hai tính chất đầu tiên của khoảng cách! - Styopa trầm ngâm nói.

Ngày hôm sau, tất cả bạn bè của Styopa đều làm việc này và bị mê hoặc bởi ý tưởng của anh ấy. Những nỗ lực của họ không được định hướng: một số bằng chứng đã sớm được tìm thấy.

Trước hết, chúng ta hãy nhắc lại cho người đọc về các tính chất của khoảng cách. Có ba người trong số họ, như bạn nhớ.

1. Khoảng cách từ điểm A đến điểm B là dương nếu chúng khác nhau và bằng 0 nếu chúng giống nhau:

$$|AB| > 0, \text{ если } A \neq B, \text{ и } |AB| = 0, \text{ если } A = B.$$

2. Khoảng cách từ điểm A đến điểm B bằng khoảng cách từ điểm B đến điểm A:

$$|AB| = |BA|.$$

3. Với ba điểm A, B, C bất kỳ, khoảng cách từ A đến C không lớn hơn (nhỏ hơn hoặc bằng) tổng các khoảng cách từ A đến B và từ B đến C:

$$|AC| \leq |AB| + |BC|.$$

Và bây giờ hãy làm quen với một trong những cách chứng minh của Styopa và những người bạn của anh ấy.

Cần chứng minh rằng với ba điểm A, B, C bất kỳ, bất đẳng thức sau đây đúng:

$$|AC| \leq |AB| + |BC|.$$

Hãy nói rằng nó không phải là một cây anh túc. Cho phép

$$|AC| > |AB| + |BC|.$$

() Vì A, B, C là ba điểm bất kỳ nên ta có thể giả sử, chẳng hạn điểm B trùng với C, điểm A khác B: B = C, A ≠ B. Vì trong trường hợp này |BC| = 0 (không có tính chất 1), thì từ () ta thu được |AC| > |AB|. Mặt khác, do điểm B và C trùng nhau nên |AC| = |AB|. Chúng tôi đã đi đến mâu thuẫn: |AC| > |AB| và |AC| = |AB|. Do đó, giả sử rằng |AC| > |AB| + |BC|, không đúng. Đương nhiên, chúng tôi vẫn giữ nguyên |AC| ≤ |AB| + |BC|, tức là tính chất 3 thỏa mãn!

Styopa Moshkin và những người bạn của anh ấy rất vui mừng. Chứng minh tính chất thứ ba của khoảng cách đã được tìm thấy! Hơn nữa, chứng minh này chỉ sử dụng tính chất thứ nhất! Do đó có một ý tưởng mới: liệu có thể chứng minh tính chất thứ hai của khoảng cách bằng tính chất thứ nhất không? “Hiệp hội toán học” Styopa Moshkin bắt đầu làm việc với sự hài lòng. Không biết khi nào và mọi chuyện sẽ kết thúc như thế nào nếu không có Pyotr Ivanovich.

2. Không có bằng chứng!

Ở bài học hình học tiếp theo, Styopa và các bạn giới thiệu cho Pyotr Ivanovich những bằng chứng mà họ đã tìm ra. Anh chăm chú lắng nghe họ và nói.

• Bạn biết đấy, mọi bằng chứng của bạn đều có sai sót. Nhưng đây không phải là điều quan trọng nhất. Tôi có thể đưa ra đáp số như vậy mà không cần bạn làm quen với bằng chứng của mình. Bạn không thể chứng minh tính chất thứ ba bằng cách sử dụng hai tính chất đầu tiên của khoảng cách!

• Làm sao! - Styopa kêu lên. - Điều đó là không thể! Và nếu trước đó-

40

bằng chứng là do người khác đưa ra?… À, ví dụ như học sinh lớp mười?… Hay do một nhà khoa học, viện sĩ nào đó?!

• Không một nhà khoa học, bạn bè nào sẽ làm điều này, bởi vì anh ta biết trước về việc không thể có được tài liệu đó. Và một học sinh lớp mười sẽ không cố gắng như vậy nếu nó đủ hiểu biết về toán.

Mọi người đều nhìn Styopa với ánh mắt trách móc. Anh phải lôi kéo họ vào công việc vô vọng này. Lãng phí quá nhiều thời gian! Và một kết thúc buồn như vậy. Chúng tôi không thể đồng ý liên hệ ngay với Pyotr Ivanovich!

• Đừng buồn! - Pyotr Ivanovich nói. - Bạn không đơn độc trong “thất bại” của mình. Tiên đề song song của Euclid đã được nhiều nhà toán học nổi tiếng và tài năng trên thế giới ghi lại trong 2 nghìn năm. Hơn nữa, Nikolai Ivanovich lobachevsky lần đầu tiên cố gắng làm điều này. Và chỉ trong quá khứ người ta mới khẳng định rằng không thể chứng minh tiên đề này dựa trên các tiên đề khác của Euclid. Bây giờ hãy so sánh vài ngày lao động của bạn với công việc của 2 nghìn năm! Bạn có thấy sự phục vụ của mình khiêm tốn đến mức nào khi so sánh với nỗ lực của nhiều nhà toán học đã cống hiến cả cuộc đời mình để chứng minh tiên đề song song không?

3. Có phải là không thể chứng minh? - Tại sao?

• Nhưng làm thế nào, làm thế nào bạn có thể phát hiện ra rằng bằng chứng là không thể? - tất cả học sinh trong lớp nói cùng một lúc, ngay cả những học sinh không tìm kiếm tài liệu về tính chất thứ ba của khoảng cách.

“Trước hết,” Pyotr Ivanovich bắt đầu, “đừng coi khoảng cách đó là thứ bắt buộc phải có được nhờ sự trợ giúp của thước đo.” Rốt cuộc, các tiên đề về khoảng cách không nói gì về điều này! Và tại sao không giả định rằng khoảng cách có thể thay đổi, chẳng hạn như tính bằng độ, với sự hỗ trợ của phương tiện giao thông? Các tiên đề về khoảng cách có cấm điều này không? Có, và trước tiên bạn sẽ thay đổi khoảng cách tính bằng phút - từ nhà đến trường là 10 phút. Vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ xây dựng một mô hình trong đó các tính chất 1 và 2 của khoảng cách sẽ được đáp ứng nhưng tính chất 3 sẽ không được đáp ứng.

Hãy tưởng tượng một tình huống tuyệt vời như vậy. Thành phố (máy bay) là nơi sinh sống của những sinh vật cực kỳ lười biếng. Họ không đi làm, không đi xem phim, không thăm nhau, họ chỉ gọi điện cho nhau. Hơn nữa, bạn có thể đi từ điểm A đến điểm B và từ B đến A trong 3 phút. Bạn có thể đến bất kỳ điểm nào khác từ A và B trong 1 phút. Từ bất kỳ điểm nào ngoài A và B, bạn cũng có thể đến bất kỳ điểm nào khác trong 1 phút. Và từ bất kỳ thời điểm nào, bạn có thể “vượt qua” nó trong thời gian không.

Đối với những người lười biếng như vậy, khoảng cách từ điểm này đến điểm khác chính là thời gian gọi điện từ điểm đầu tiên đến điểm thứ hai.

Kiểm tra khoảng cách chạy trong thành phố tuyệt vời này. Bạn có thấy không? Lần thực hiện đầu tiên và thứ hai, nhưng lần thứ ba thì không. Ví dụ: $|AB| > |AC| + |CB|$, vì $|AB| = 3$, $|AC| + |CB| = 1+1=2$.

41

“Bây giờ chúng ta có thể rút ra kết luận,” giáo viên nói. — Việc “chứng minh tính chất thứ ba của khoảng cách bằng hai tính chất đầu tiên” có nghĩa là gì?

“Điều này có nghĩa là chứng minh rằng nếu tính chất 1 và 2 thỏa mãn thì tính chất 3 cũng sẽ thỏa mãn”, Styopa trả lời ngay cho mọi người.

— Và khi xem xét mô hình, tính chất 1 và 2 được thỏa mãn, nhưng tính chất 3 không được thỏa mãn. Điều này có nghĩa là không thể chứng minh tính chất 3 bằng tính chất 1 và 2! Thuộc tính 3 độc lập với thuộc tính 1 và 2.

4. Mẫu mới

Có lẽ bạn đang háo hức muốn biết liệu Styopa và những người bạn của anh ấy đã chứng minh được tính chất thứ hai của khoảng cách bằng tính chất thứ nhất chưa? Và bằng chứng đó có tồn tại không?

Sau khi nhận được “bài học”, “hội toán học” của Styopa Moshkin bắt đầu hành động thận trọng hơn. Các thành viên của nó nhận ra rằng việc làm toán không chỉ liên quan đến việc chứng minh bằng chứng mà còn phải tìm ra: chúng có tồn tại không? Đầu tiên, các chàng trai quyết định thử xây dựng một mô hình trong đó tính chất đầu tiên về khoảng cách sẽ được đáp ứng, nhưng tính chất thứ hai thì không. May mắn đã tiết lộ rằng không có bằng chứng nào về thuộc tính thứ hai dựa trên thuộc tính thứ nhất. Và họ đã may mắn. Đây là mẫu “điện thoại” họ đã xây dựng: $|AB| = 2, |BA| = 1, |AC| = |CA| = |BC| = |CB| = 1$. Rõ ràng, tính chất đầu tiên của khoảng cách được thỏa mãn cho tất cả các điểm trong mô hình như vậy. Tuy nhiên, đối với điểm

$A$ và $B$ thuộc tính thứ hai không được thỏa mãn: $|AB| \neq |BA|$. Do đó, thuộc tính thứ hai của khoảng cách độc lập với thuộc tính thứ nhất.

5. Lời kết

Đây là cách một câu chuyện khác kết thúc xảy ra với học sinh lớp sáu Stepa Moshkin. Bạn có nghĩ rằng anh ấy đã bình tĩnh lại sau chuyện đó không? Sai! Styopa đã chuẩn bị nhiệm vụ cho bạn!

thúc giục

1. Tìm lỗi trong “chứng minh” tính chất thứ ba của khoảng cách.
2. Tìm hiểu xem tính chất thứ ba của khoảng cách có được thỏa mãn trong mô hình do Stepa và những người bạn của anh ấy xây dựng hay không.
3. Lấy hai điểm khác nhau $A$ và $B$. Chúng tôi sẽ giả định rằng $|AB| = 1, |BA| = 3$. Xét khoảng cách giữa bất kỳ điểm không trùng nhau nào khác bằng 1, giữa các điểm trùng khớp - 0. Sử dụng mô hình này, chứng minh tính chất thứ hai và thứ ba của khoảng cách độc lập với tính chất thứ nhất.
4. Chứng minh bằng cách xây dựng một mô hình thích hợp rằng tính chất thứ hai của khoảng cách là độc lập với tính chất thứ ba.
5. Vẽ một hình tam giác $ABC$ sao cho $\hat{C} = 100^\circ, \hat{A} = 30^\circ, \hat{B} = 50^\circ$. Để biết khoảng cách giữa hai đỉnh của một tam giác, kỹ thuật tạo góc ở đỉnh thứ ba là: $|AB| = 100, |AC| = 50, |BC| = 30$. Khoảng cách giữa bất kỳ điểm phân biệt nào khác sẽ được coi là bằng 1, khoảng cách giữa các điểm trùng nhau sẽ được coi là bằng 0. Sử dụng mô hình này để chứng minh độc lập tính chất thứ ba bằng cách sử dụng hai tính chất đầu tiên của khoảng cách.