Định luật nhiệt động đầu tiên

42

Định luật nhiệt động đầu tiên

Trong nhiệt động lực học và vật lý phân tử, các tính chất của vật thể vĩ mô được nghiên cứu, tức là các vật thể bao gồm một số lượng lớn các hạt (phân tử, nguyên tử, v.v.). Những vật hoặc nhóm như vậy thường được gọi là hệ nhiệt động lực học.

Mọi vật thể vĩ mô đều bị vi phạm; cơ năng của hệ thường không đổi, do đó, để mô tả những hiện tượng như vậy chỉ cần biết nội năng $U$ của hệ này. Trong vật lý phân tử, nội năng được hiểu là tổng động năng của các hạt cấu tạo nên một vật thể nhất định và thế năng tương tác giữa các hạt này. Điều này có nghĩa là nội năng chỉ có thể được xác định ở một hằng số nhất định $U_0^*$). Nhưng kể từ khi

*) Nói chung, nội năng của một vật còn bao gồm nội năng của các hạt cấu tạo nên vật đó. Chẳng hạn, đó là động năng của các electron và thế năng tương tác của các electron với nhau và với hạt nhân nguyên tử, năng lượng liên kết của các nucleon trong hạt nhân, v.v. Tuy nhiên, trong các hiện tượng nghiên cứu trong vật lý phân tử, các hạt cấu tạo nên vật thể không thay đổi nên nội năng của các hạt này không đổi. Điều này giúp có thể đưa nó vào hằng số nêu trên; ý nghĩa vật lý chỉ là sự thay đổi năng lượng (công thực hiện gắn liền với nó), thì giá trị riêng của hằng số này không quan trọng.

Từ định nghĩa về năng lượng bên trong của một hệ, nó được xác định bởi vận tốc của các hạt và khoảng cách giữa chúng tại một thời điểm nhất định và không phụ thuộc vào giá trị của các đại lượng này tại thời điểm trước đó. Nói cách khác, nội năng của một hệ chỉ phụ thuộc vào trạng thái của nó tại một thời điểm nhất định và không phụ thuộc vào trạng thái mà nó chuyển sang trạng thái này. (Vì lý do này, nội năng của hệ, cũng như các đại lượng vật lý khác có cùng tính chất, được gọi là hàm trạng thái.) Điều này có nghĩa là khi hệ chuyển từ trạng thái nào đó $1$, trong đó nội năng lấy giá trị $U_1$, sang trạng thái khác $2$, trong đó nội năng là $U_2$, thì sự thay đổi nội năng $\Delta U = U_2 - U_1$ chỉ phụ thuộc vào các trạng thái $1$ và $2$ và không phụ thuộc vào cách hệ thống chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác.

Làm thế nào bạn có thể thay đổi năng lượng bên trong của một hệ thống? Rõ ràng, để làm được điều này cần phải thay đổi trạng thái của nó. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách khác nhau đáng kể. Một trong số đó là hiệu suất làm việc trên hệ thống, thứ hai là trao đổi nhiệt với môi trường.

Định luật nhiệt động lực học đầu tiên, được thiết lập trên cơ sở nhiều định luật bán buôn, quy định rằng sự thay đổi nội năng $\Delta U$ của hệ bằng tổng công $A'$ được thực hiện trên hệ bởi các ngoại lực và lượng nhiệt $Q$ truyền đến hệ thống chiết:

$$\Delta U = A' + Q.$$

Định luật này có thể được phát biểu hơi khác nếu, thay vì công $A'$ của các ngoại lực, chúng ta nói về công $A$ của chính hệ. Vì $A' = -A$ thì

$$\Delta U = -A + Q,$$ hoặc $Q = \Delta U + A$ - lượng nhiệt mà hệ nhận được bằng tổng độ biến thiên nội năng của nó và công thực hiện

43

của hệ thống lên các vật thể bên ngoài. Định luật nhiệt động lực học đầu tiên là một công thức cụ thể của định luật bảo toàn năng lượng được áp dụng cho các quá trình nhiệt.

Ví dụ về một hệ nhiệt động cụ thể, hãy xem xét một loại khí lý tưởng. Trạng thái của nó có thể được mô tả bằng các tham số: $m, \mu, p, V, T$. Ở đây $m$ là khối lượng của chất khí, $\mu$ là khối lượng mol của nó, $p$ là áp suất của chất khí, $V$ là thể tích chiếm dụng và $T$ là nhiệt độ của chất khí. Tất cả các tham số này có liên quan với nhau bằng phương trình trạng thái của khí lý tưởng - phương trình Mendeleev-Clapeyron

$$pV = \frac{m}{\mu}RT,$$

trong đó $R$ là hằng số khí phổ quát.

Nội năng của một khí lý tưởng (động năng của chuyển động nhiệt của các phân tử của nó) cũng có thể được biểu thị thông qua các thông số tương tự. Vì vậy, đối với một khí lý tưởng nitơ

$$U = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu}RT = \frac{3}{2}pV.$$

Từ đây

$$U_2 - U_1 = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu}R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1).$$

Chúng ta hãy nhớ lại rằng công được thực hiện bởi khí lý tưởng trong bất kỳ quá trình nào được xác định thuận tiện nhất bằng đồ họa (Hình 1): nó bằng số với diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của quá trình tương ứng trên sơ đồ $pV$, trục $V$ và các đoạn tương ứng với áp suất khí ban đầu và cuối cùng.

Phương pháp xác định công này cho phép chúng ta chứng minh rõ ràng một tính chất rất quan trọng. Hãy để khí chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2. Quá trình chuyển đổi này có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau, ví dụ: dọc theo đường dẫn $1a2$ hoặc $1b2$ (Hình 2). Như có thể thấy trong Hình 2, các vùng bên dưới biểu đồ $1a2$ và $1b2$ khác nhau. Điều này có nghĩa là công mà chất khí thực hiện trong quá trình chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác không chỉ phụ thuộc vào các trạng thái này mà còn phụ thuộc vào phương pháp chuyển từ trạng thái ban đầu sang trạng thái cuối cùng. (Nói cách khác, công trong nhiệt động lực học không phải là một hàm của trạng thái.)

Hãy xem xét các chi tiết cụ thể sau bài toán:

Bài toán 1. Khí chuyển từ trạng thái 1, được đặc trưng bởi các tham số $p_1 = 2 \cdot 10^5$ Pa và $V_1 = 0,1$ m$^3$, sang trạng thái 2, trong đó các tham số của nó bằng $p_2 = 10^5$ Pa và $V_2 = 0,4$ m$^3$ tương ứng, theo hai cách khác nhau (Hình 3). Tìm công mà khí thực hiện trong trường hợp tổng quát.

44

Trong trường hợp đầu tiên, khi khí chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2 dọc theo đường 1 a 2, công của nó bằng số với diện tích dưới đồ thị 1 a 2:
$$A_{1a^2} = p_1(V_2 - V_1) = 6 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$
Tương tự, trong trường hợp thứ hai, khí có giá trị bằng diện tích dưới đồ thị 1 b 2:
$$A_{1b^2} = p_2(V_2 - V_1) = 3 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$
Bài toán 2. 4 mol khí ta thực hiện quá trình như hình 4. Giá trị lớn nhất của khí ở đoạn nào?

Trước hết, hãy vẽ đồ thị của quá trình này theo tọa độ $p, V$ (Hình 5). Để làm điều này, từ phương trình Mendeleev-Clapeyron, chúng ta tìm thể tích khí tại các điểm 1, 2, 3 và 4:
$$V_1 = 0,1 \text{ м}^3, V_2 = 2V_1 = 0,2 \text{ м}^3, V_3 = V_2 \text{ и } V_4 = 0,5 \text{ м}^3.$$
Từ Hình 5, ngay lập tức cho thấy trong phần 2-3 không có công việc nào được thực hiện (quy trình này là ishoric):
$$A_{2-3} = 0.$$
Trong phần 3-4 (với quy trình ishoric), nó bằng diện tích của vận động viên trượt tuyết thẳng tương ứng:
$$A_{3-4} = p_3(V_4 - V_3) = 1,5 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$
Bây giờ chúng ta hãy ước tính công trong quá trình đẳng nhiệt 1-2. Dễ thấy diện tích dưới tiết diện 1–2 của đường đẳng nhiệt nhỏ hơn diện tích hình thang 1–2–$V_2 - V_1$. Cái sau này bằng $1,5 \times 10^4 \text{ Дж}$, tức là bằng diện tích của người trượt thẳng tương ứng với phần 3-4. Như vậy,
$$A_{1-2} < A_{3-4} \text{ и } A_{2-3} = 0.$$
Do đó, lượng khí tối đa ở phần 3-4 là bằng nhau.

Bài toán 3. Một thể tích khí chiếm $V_1 = 2 \text{ м}^3$ ở áp suất $p_1 = 4 \cdot 10^5 \text{ Pa}$ trải qua một quá trình (chu trình) tuần hoàn, bao gồm nhiều giai đoạn. Đầu tiên, khí được làm lạnh đẳng tích đến nhiệt độ mà áp suất của nó là $p_2 = 10^5 \text{ Pa}$. Sau đó, nó được làm lạnh đẳng nhiệt đến trạng thái tối đa ban đầu, sao cho áp suất của nó thay đổi khi thể tích thay đổi theo định luật: $p = \alpha V$ ($\alpha$ là một giá trị không đổi). Vẽ đồ thị của quá trình tuần hoàn này trên sơ đồ $pV$ và tìm lượng khí hoàn hảo bằng nhau.

Như sau từ điều kiện bài toán, trạng thái khí 1 và 3 được biểu thị bằng các điểm nằm trên đường thẳng $p = \alpha V$ đi qua gốc tọa độ (Hình 6). Điều này có nghĩa là $p_1 = \alpha V_1$ và $p_3 = \alpha V_3$.

Có tính đến thực tế là $p_3 = p_2$, chúng ta thu được $V_3 = \frac{p_2V_1}{p_1} = 0,5 \text{ м}^3$.

Công trong một quy trình hình tròn có giá trị bằng diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của quy trình này, trong trường hợp này là diện tích của tam giác 1 2 3:

$$A = \frac{1}{2} (p_1 - p_2) (V_1 - V_3) = \frac{(p_1 - p_2)^2 V_1}{2p_1} = 2,25 \cdot 10^5 \text{ Дж}.$$

Bây giờ chúng ta hãy nói một chút về nhiệt dung của khí lý tưởng. Theo định nghĩa, cho nhiệt dung riêng
$$c = \frac{Q}{m \Delta T},$$

45

trong đó $Q$ là lượng nhiệt truyền cho khí, $m$ là khối lượng của khí và $\Delta T$ là sự thay đổi nhiệt độ của nó. Theo định luật nhiệt động lực học thứ nhất $Q = \Delta U + A$, thì $c = \frac{\Delta U + A}{m \Delta T}$. Như đã đề cập, sự thay đổi nội năng không phụ thuộc vào cách thay đổi trạng thái của khí (nghĩa là vào điều kiện nung nóng của nó), mà công thì có. Do đó, việc loại bỏ nhiệt dung của khí lý tưởng phụ thuộc vào các điều kiện làm nóng nó. Ví dụ, nếu một chất khí được nung nóng đẳng tích thì công mà khí thực hiện là $A = 0$ và loại bỏ tính đặc trưng nhiệt của chất khí ở áp suất không đổi

$$c_V = \frac{\Delta U}{m \Delta T}.$$

Nếu khí được nung nóng đẳng tích, $A = p \Delta V = \frac{m}{\mu} R \Delta T$, do đó loại bỏ nhiệt dung của khí lý tưởng ở áp suất không đổi

$$c_p = \frac{\Delta U}{m \Delta T} + \frac{A}{m \Delta T} = c_V + \frac{R}{\mu} > c_V.$$

Điều này được giải thích là do trong quá trình đốt nóng đẳng áp của một chất khí, chỉ một phần nhiệt sinh ra sẽ làm tăng nội năng của chất khí (để tăng nhiệt độ của nó), trong khi một phần được chuyển thành công cơ học. Trong quá trình đốt nóng đẳng tích, toàn bộ lượng nhiệt được dùng để tăng nhiệt độ của khí. Do đó, để tăng nhiệt độ lên một độ của cùng một khối lượng khí ở áp suất không đổi, cần một lượng nhiệt lớn hơn ở thể tích không đổi. Điều này có nghĩa là

$$c_p > c_V.$$

Ví dụ: hãy xem xét điều này bài toán:

Bài toán 4. Tính nhiệt dung tỏa ra ở thể tích không đổi và áp suất không đổi đối với argon ($\mu = 40 \cdot 10^{-3}$ kcal/mol).

Theo định nghĩa

$$c_V = \frac{\Delta U}{m \Delta T} \text{ и } c_p = c_V + \frac{R}{\mu}.$$

Argon là một loại khí đơn nguyên tử và vì vậy nó

$$\Delta U = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R \Delta T.$$

Hình 6.

Hình 7.

Sau đó

$$c_V = \frac{3}{2} \frac{R}{\mu} \approx 311 \text{ Дж/(кг·К)}$$

Và

$$c_p = c_V + \frac{R}{\mu} = \frac{5}{2} \frac{R}{\mu} \approx 519 \text{ Дж/(кг·К).}$$

Chúng ta hãy xem thêm một số bài toán:

Bài toán 5. Một số lượng khí đơn nguyên tử chiếm thể tích $V_1 = 0,1 \text{ m}^3$ ở áp suất $p_1 = 2 \cdot 10^5 \text{ Pa}$. Nếu một chất khí chuyển từ trạng thái này sang trạng thái cuối cùng 2, đầu tiên là trong quá trình đẳng áp và sau đó là trong quá trình nung nóng đẳng tích, thì nó thực hiện công $A_1 = 4 \cdot 10^4 \text{ Дж}$. Nếu quá trình chuyển đổi được thực hiện trực tiếp dọc theo đường thẳng 1-2 thì công của khí là $A_2 = 5 \cdot 10^4 \text{ Дж}$. Tìm áp suất và thể tích của khí ở trạng thái cuối cùng 2, cũng như lượng nhiệt mà khí nhận được trong cả hai trường hợp.

Chúng ta hãy mô tả các quá trình này trên sơ đồ $pV$ (Hình 7). Công của khí ở quá trình thứ nhất bằng

$$A_1 = p_1(V_2 - V_1),$$

46

Ở đâu
$$V_2 = V_1 + \frac{A_1}{p_1} = 0,3 \text{ м}^3.$$

Trong trường hợp thứ hai, khí hoạt động
$$A_2 = \frac{1}{2} (p_1 + p_2) (V_2 - V_1),$$

Ở đâu
$$p_2 = \frac{2A_2}{V_2 - V_1} - p_1 = 3 \cdot 10^5 \text{ Pa}.$$

Độ biến thiên nội năng trong cả hai trường hợp là như nhau và bằng nhau đối với khí đơn nguyên tử
$$\Delta U = \frac{3}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1) = 1,05 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$

Cuối cùng, theo định luật nhiệt động lực học thứ nhất,
$$Q_1 = A_1 + \Delta U = 5,05 \cdot 10^4 \text{ Дж}$$
Và
$$Q_2 = A_2 + \Delta U = 6,05 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$

Bài toán 6. Tên công do khối lượng $m = 0,2$ vuông thực hiện trong quá trình giãn nở advabatic, nếu nó nguội đi từ $T_1 = 300$K đến $T_2 = 268$K. Khối lượng mol cơ thể $\mu = 4 \times 10^{-3}$ kcal/mol.

Trong một quá trình advabatic ($Q=0$), công của một chất khí bằng độ biến thiên nội năng của nó, lấy dấu ngược lại:
$$A = -\Delta U.$$
Đối với helium (helium là khí đơn nguyên tử)
$$\Delta U = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R \Delta T = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R (T_2 - T_1).$$

Từ đây
$$A = -\frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R (T_2 - T_1) \approx 2 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$

Sợi

1. Khí được nung nóng đẳng áp từ $T_1=285$K đến $T_2=360$K. Xác định công mà chất khí thực hiện nếu áp suất và thể tích ban đầu của nó bằng $p_1 = 1,9 \cdot 10^5$ Pa và $V_1 = 6 \text{ м}^3$ tương ứng.
2. Tìm công thực hiện bởi một mol và một khí lý tưởng trong quá trình tuần hoàn được minh họa trên Hình 8, nếu $p_2/p_1 = 2, T_1=280$K, $T_2=360$K.
3. Xi lanh chứa nitơ có khối lượng $m=0,7$ kg ở nhiệt độ $T=291$K. Phải nung nitơ đẳng áp đến nhiệt độ bao nhiêu để công giãn nở bằng $A=4,15 \cdot 10^4$ J?
4. $m=0,3$ kg heli hấp thụ bao nhiêu nhiệt khi đun nóng từ 293K đến 373K ở áp suất không đổi? Nội năng của nó tăng lên bao nhiêu và nó thực hiện công gì?
5. Neon được nung nóng ở áp suất không đổi $p=1,6 \cdot 10^5$ Pa để thể tích của nó tăng $\Delta V=0,6 \text{ м}^3$. Xác định độ biến thiên nội năng của neon, công thực hiện trong quá trình giãn nở và lượng nhiệt mà nó nhận được.
6. Một khối lượng $m=0,12$ kg, nằm ở nhiệt độ $T_1=295$K, được nung nóng đến nhiệt độ nào do sự lăn thuận lợi, nếu $A'=4150$ J công đã tiêu tốn trong trường hợp này?
7. Một hình trụ có dung tích $V=1,5 \text{ м}^3$ chứa một lượng khí đơn nguyên tử ở nhiệt độ $T_1=300$K và áp suất $p_1=1,8 \cdot 10^5$ Pa. Nhiệt độ và áp suất của khí sẽ là bao nhiêu nếu được cấp một lượng nhiệt $Q=5,4 \cdot 10^4$ J?
8. Một khí đơn nguyên lý tưởng, có thể tích $V_1=2 \text{ м}^3$ ở áp suất $p_1=10^5$ Pa, giãn nở sao cho đồ thị của quá trình giãn nở được cô lập trên sơ đồ $pV$ bằng một đoạn thẳng. Tìm thể tích và áp suất của khí khi kết thúc quá trình giãn nở, nếu biết rằng khí trong quá trình này đã nhận một lượng nhiệt $Q=3,5 \cdot 10^5$ J và thực hiện công $A=1,1 \cdot 10^5$ J.