Lời giải bài toán M436—M440; F448, F450—F452

30

Lời giải bài toán
M436—M440; F448, F450—F452

M436. Cho 20 số $a_1, a_2, \dots, a_{10}, b_1, b_2, \dots, b_{10}$. Chứng minh rằng một tập hợp gồm 10 số (tùy chọn khác nhau) $a_1 + b_1, a_1 + b_2, \dots, a_{10} + b_{10}$ có thể chia thành 10 tập con, mỗi tập có 10 số sao cho tổng các số trong mỗi tập con là cùng một chữ số). Dễ dàng nhận thấy trong mỗi cột (trong mỗi hàng) có đại diện của tất cả các tập hợp con, sao cho các chỉ số $i$ và $j$ của các số $a_i + b_j$ có trong mỗi tập hợp con đều lấy tất cả các giá trị từ 1 đến 10 (chính xác một lần). Do đó, tổng các số trong mỗi tập hợp con là như nhau: $a_1 + a_2 + \dots + a_{10} + b_1 + b_2 + \dots + b_{10}$.

S. Berkova

Hình 1.

Hình 2.

M437. Chứng minh rằng một số lẻ là tích của n thừa số khác nhau, có thể biểu diễn dưới dạng hiệu bình phương của hai số tự nhiên bằng $2^{n-1}$ theo nhiều cách khác nhau.

M438. Trong hệ thống này, tất cả các cặp tiếp tuyến có thể có của một đường tròn đều được tính toán. Đối với mỗi cặp đường tròn đi qua một điểm thì tiếp tuyến của đường tròn
Hãy chứng minh rằng tất cả các đường thẳng này đều đi qua điểm $M$ - trung điểm của cung của đoạn thẳng bù với đoạn đã cho của đường tròn. Chúng ta hãy biểu thị ranh giới của vòng tròn này bằng $\gamma$ (Hình 3).

Gọi $K$ là giao điểm của đường kính $MN$ của đường tròn $\gamma$ với dây cung $AB$ của đoạn thẳng đã cho. Đặt $\gamma_1$ và

32

(ví dụ: $a_1, a_2, \dots, a_n$ - số thực $k_1, k_2, \dots, k_n$ - số tự nhiên) có nhiều nhất $n$ nghiệm dương.

c) Chứng minh phương trình
$$ax^k(x+1)^p + bx^l(x+1)^q + cx^m(x+1)^r = 1$$
(thức ăn $a, b, c$ - số thực $k, l, m, p, q, r$ - số tự nhiên) có không quá 14 nghiệm dương.

Hình 5.

một phần của phương trình $(1')$ với $(-a_n x^k n^{-1})$, ta thu được phương trình
$$b_1 x^{k_1}-k_n + b_2 x^{k_2}-k_n + \dots + b_{n-1} x^{k_n-1}-k_n = 1$$
(có nhiều hơn $n-1$ nghiệm dương). Đạo hàm cả hai vế của phương trình $(2)$, ta thu được phương trình
$$\bar{b}_1 x^{k_1}-k_n-1 + \bar{b}_2 x^{k_2}-k_n-1 + \dots + \bar{b}_{n-1} x^{k_n-1}-k_n-1 = 0$$
(có nhiều hơn $n-2$ nghiệm dương). Thực hiện các bước này $n-1$ lần, chúng ta đạt được phương trình
$$\alpha x^m = 1, (m = k_1-k_2),$$

mà, do giả định được đưa ra đối với phương trình $(1)$, phải có nhiều hơn một nghiệm dương. Nhưng điều này là không thể được; Điều này có nghĩa là phương trình ban đầu $(1)$ không thể có nhiều hơn $n$ nghiệm dương. Câu bài toán 6) đã được chứng minh.

Hãy chuyển sang bài toán c). Chúng ta sẽ cần sự thật sau đây.

Giả sử $P_m(x)$ là đa thức ở $x$ bậc $m$. Khi đó biểu thức tùy ý $x^k(x+1)^p P_m(x)$ có dạng
$$x^{k-1}(x+1)^{p-1} P_{m+1}(x),$$ trong đó $P_{m+1}(x)$ là đa thức ở $x$ bậc $m+1$ ($k$ và $p$ là bất kỳ số thực nào). Thật sự,

$$(x^k(x+1)^p P_m(x))' = kx^{k-1}(x+1)^p P_m(x) +$$
$$+ px^k(x+1)^{p-1} P_m(x) + x^k(x+1)^p P'_m(x) =$$
$$= x^{k-1}(x+1)^{p-1} [k(x+1)P_m(x) + pxP_m(x) +$$
$$+ x(x+1)P'_m(x)] = x^{k-1}(x+1)^{p-1} P_{m+1}(x),$$

trong đó $P_{m+1}(x)$ là đa thức bậc $m+1$, được viết trong ngoặc vuông (hãy nhớ rằng bậc của đa thức $P'_m(x)$ bằng $m-1$).

Giả sử bây giờ phương trình
$$ax^k(x+1)^p + bx^l(x+1)^q + cx^m(x+1)^r = 1$$
(có nhiều hơn 14 nghiệm dương). Khi đó, giống như bài toán 6), phương trình thu được bằng cách lấy đạo hàm cả hai phần có hơn 13 nghiệm dương. Phương trình này sẽ có dạng sau (xem phép vi phân đã được chứng minh ở trên):

$$x^{k-1}(x+1)^{p-1} A_1(x) + x^{l-1}(x+1)^{q-1} B_1(x) +$$
$$+ x^{m-1}(x+1)^{r-1} C_1(x) = 0$$
(các số $k, p, l, q, m, r$ có thể là số thực bất kỳ; $A_1(x), B_1(x), C_1(x)$ là đa thức bậc một).

Chia cả hai vế của phương trình $(4')$ cho $x^{m-1}(x+1)^{r-1}$ (đây là một phép toán “hợp pháp”: chúng ta chỉ quan tâm đến các nghiệm dương!), chúng ta thu được phương trình
$$x^{k-m}(x+1)^{p-r} A_1(x) + x^{l-m}(x+1)^{q-r} B_1(x) + C_1(x) = 0$$
(có nhiều hơn 13 nghiệm dương). Kéo dài cả hai vế của phương trình $(4'')$ hai lần, ta thu được phương trình
$$x^{k-m-2}(x+1)^{p-r-2} A_3(x) + x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2} B_3(x) = 0$$
(có nhiều hơn 11 nghiệm dương (nghĩ mà xem!) Chia cả hai vế của phương trình $(5)$ cho $x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2}$ ta có phương trình
$$x^{k-l}(x+1)^{p-q} A_3(x) + B_3(x) = 0$$
(có nhiều hơn 12 nghiệm dương). Mở rộng cả hai vế của phương trình $(5')$ lên $x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2}$, ta thu được phương trình
$$x^{k-l}(x+1)^{p-q} A_3(x) + B_3(x) = 0$$

34

F448. Tại sao những khúc gỗ di chuyển dọc sông luôn được định hướng theo vị trí chứ không phải băng qua nó?

Hình 8.

F450. Một hạt nhân có khối lượng m, ánh sáng với tốc độ $v_0$, phân rã thành hai mảnh giống hệt nhau. Chúng ta hãy xác định góc tối đa có thể có giữa vectơ vận tốc của một trong các mảnh vỡ và vectơ $v_0$, nếu trong quá trình phân rã của hạt nhân nghỉ của mảnh vụn chúng ta có tốc độ $|\vec{v}| < |\vec{v}_0|$.

Hình 9.

F451. Vẽ đồ thị gần đúng về sự phụ thuộc của moka thông qua điện trở R vào vị trí chuyển động của người thuận tay trái trong phòng (Hình 10). Giá trị tối đa hiện tại của $y = x/l$ là bao nhiêu?

$$K \cdot C \cdot 3 \leq K_3 \cdot K_C \cdot C_K \cdot C_3 \cdot 3_C \leq \left[ \frac{1}{6} \left(K_3 + K_C + \dots + 3_K\right) \right]^6 \leq 50^8,$$

từ đâu $X \leq 2500$.

Một ví dụ về cách sắp xếp 2500 xiên theo điều kiện bài toán 6) được thể hiện trên Hình 7.

N. Nechyemaev,
S. Fomin

Tác động của lực ma sát dẫn đến sự phân bố vận tốc nhất định của các phần khác nhau của dòng chảy được thiết lập ở lòng sông. Các lớp chất lỏng mỏng nằm sát bờ (và đáy sông) bất động và khi bạn đến gần giữa sông (và mặt nước), tốc độ của nước liên tục tăng (Hình 8).

Nếu một khúc gỗ được đặt ở sông vuông góc với dòng chảy thì phần khúc gỗ ở gần bờ sẽ chuyển động với tốc độ thấp hơn phần khúc gỗ ở gần giữa sông. Điều này làm cho khúc gỗ bắt đầu xoay. Và nó sẽ quay cho đến khi khúc gỗ gần giữa sông ở phía trước, và khúc gỗ hướng theo dòng nước.

Tốc độ $\vec{u}$ của một trong các mảnh lõi bằng

$$\vec{u} = \vec{v}_0 + \vec{v},$$

trong đó $\vec{v}_0$ là tốc độ của nó trước khi hạt nhân phân rã, và $\vec{v}$ là tốc độ của mảnh vụn so với hạt nhân đang đứng yên (nghĩa là trong hệ tọa độ trong đó hạt nhân đứng yên trước khi phân rã).

Hãy định vị vectơ $\vec{v}_0$ như trong Hình 9. Điểm cuối của vectơ $\vec{v}$ có thể nằm trên một đường tròn bán kính $|\vec{v}|$. Từ Hình 9 có thể thấy rằng vectơ $\vec{u}$ tạo một góc tối đa $\alpha$ với vectơ $\vec{v}_0$ nếu góc giữa các vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là $\pi/2$. Trong trường hợp này

$$\alpha = \arcsin \frac{|\vec{v}|}{|\vec{v}_0|}.$$

Tiếp điểm chuyển động (động cơ) chia điện trở $r$ của chiết áp thành hai phần. Chúng ta hãy biểu thị chúng bằng $r_1$ và $r_2$ (Hình 11), và

$$r_1 = ry \text{ и } r_2 = r(1 - y).$$

Tổng điện trở $R_0$ của mạch bằng

$$R_0 = R_1 + r_2 + \frac{r_1R}{r_1 + R}$$

(chúng tôi giả sử rằng điện trở trong của nguồn là $R_1$). Dòng điện trong mạch