Hình elip hình cầu

25

Hình elip hình cầu

Một hình elip (“Hình học 10”, § 59; xem thêm “Đại số 8”, đoạn 2) có thể được định nghĩa là một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, tổng khoảng cách từ đó đến hai điểm cho trước của mặt phẳng (gọi là tiêu điểm) là một hằng số. Nếu trong định nghĩa này, “tổng” được thay thế bằng “môđun chênh lệch”, chúng ta sẽ nhận được một ellerbola. Parabol là tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, khoảng cách từ đó đến một điểm cho trước trên mặt phẳng (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn) là như nhau.

Hình elip hình cầu là một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, khoảng cách từ đó đến một điểm cho trước trên mặt phẳng (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn) là như nhau.

Hình elip hình cầu là một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, khoảng cách từ đó đến một điểm cho trước trên mặt phẳng (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn) là như nhau.

Một hình elip phẳng chỉ biến thành hình tròn khi các tiêu điểm của nó hợp nhất. Như N.I. Fuss đã chỉ ra, một hình elip hình cầu sẽ chuyển thành một hình tròn (cụ thể là hình tròn lớn hơn của foquera) nếu tổng không đổi khoảng cách được đề cập trong định nghĩa bằng một nửa chiều dài của hình tròn ok lớn hơn. Các hình tam giác hình cầu tắc nghẽn được đánh dấu trong Hình 1 gần các tiêu điểm $F_1$, $F_2$ sẽ giúp bạn chứng minh nhận định của Fuss.

Xét một hình cầu $\Delta$ và một mặt phẳng $\alpha$ tiếp tuyến tại tiêu điểm với một hình elip hình cầu $l$ nào đó trên đó. Chúng ta hãy vẽ tất cả các đường thẳng có thể có đi qua tâm hình cầu $O$ và các điểm của hình elip hình cầu $l$. Hóa ra bề mặt hữu hạn $\Gamma$ thu được theo cách này sẽ cắt mặt phẳng $\alpha$ dọc theo một số hình elip $\lambda$. Bề mặt $\Gamma$ sẽ giao với hình cầu ban đầu dọc theo một hình elip hình cầu khác $l'$, đối xứng với $l$ so với $O$ (Hình 2).

Hình 1.

Hình 2.

Điều thú vị là, xét về tiêu điểm của hình elip $l$, hình elip $l'$ sẽ là một hyperbol hình cầu.

Một hình elip (phẳng) cũng có thể được định nghĩa là một tập hợp các điểm (trên một mặt phẳng), tỷ lệ khoảng cách từ đó đến một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (directrix) không đổi và nhỏ hơn 1. Một hình elip hình cầu có thể được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể chứng minh rằng hình chiếu tâm của đường chuẩn của hình elip $\lambda$ so với $O$ lên hình cầu $\Delta$ là đường chuẩn của hình elip hình cầu $l$: tỷ lệ khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của hình elip $l$ đến tiêu điểm và đến đường tròn lớn thu được trong phép chiếu được mô tả là không đổi và nhỏ hơn 1.

Các góc giữa các đoạn nối một điểm tùy ý của một hình elip phẳng với tiêu điểm và tiếp tuyến của hình elip tại điểm này bằng nhau. Trạng thái này có cái gọi là tính chất quang học của hình elip. Hình elip hình cầu có tính chất tương tự: nếu tại bất kỳ điểm $M$ nào chúng ta vẽ một đường tròn lớn tiếp tuyến và nối điểm $M$ dọc theo các đường tròn lớn với tiêu điểm của hình elip thì các góc giữa đường tròn sau này và đường tròn tiếp tuyến sẽ bằng nhau.

Nhiều tính chất của hình elip hình cầu lần đầu tiên được phát hiện bởi nhà toán học người Nga, người Thụy Sĩ, N. I. Fuss (1755-1825). N. I. Fuss là sinh viên và trợ lý của L. Euler vĩ đại và đã thực hiện hầu hết các nghiên cứu đầu tiên trong lĩnh vực toán học và cơ học dưới sự hướng dẫn của ông. Sau đó, N.I. Fuss trở thành thành viên chính thức của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg và thư ký thường trực của viện. Các kết quả thú vị liên quan đến hình elip hình cầu cũng được nhà toán học người Nga L. I. Magnus (1790-1861) thu được.

V. Berezin