Khoảng cách giữa các nguyên tử trong tinh thể được đo như thế nào?

2

A. Kitayevodsky

Khoảng cách giữa các nguyên tử trong tinh thể thay đổi như thế nào

Những từ “cấu trúc” và “cấu trúc” rất có ý nghĩa. Các nghiên cứu khác nhau có ý nghĩa khác nhau dưới những từ này. Một nhà sinh vật học có thể nói về cấu trúc của mô cơ, nghĩa là sự sắp xếp của các sợi cơ với nhau; Khi một nhà kim loại nói về cấu trúc của hợp kim, anh ta thường đề cập đến hình dạng và kích thước của các hạt. Những cấu trúc này được quan sát bằng cách sử dụng sự phân tách vi mô nói chung ở độ phóng đại chỉ vài trăm lần. Nhưng những từ tương tự cũng được sử dụng khi nói về các hạt tạo nên hạt nhân nguyên tử, có vị trí thay đổi một phần nghìn tỷ centimet. Ở đây, từ “cấu trúc” đã có nghĩa thông thường và các nhà vật lý sử dụng nó một cách thận trọng, hãy nhớ rằng các biểu diễn trực quan bằng hình ảnh không phù hợp với những viên gạch rắn chắc của vũ trụ.

Trong vật lý chất rắn, từ “cấu trúc” và “cấu trúc” cũng có thể được sử dụng theo nhiều nghĩa khác nhau. Vì vậy, chẳng hạn, khi thảo luận về cấu trúc điện tử của kim loại, chúng không có nghĩa là vị trí của các electron trong không gian, mà là bản chất phân bố năng lượng của chúng; nói về cấu trúc của vật liệu sắt từ, họ mô tả kích thước, hình dạng và vị trí của các miền. Có những tình huống khác mà từ “cấu trúc” lại khá phù hợp.

Bài viết này sẽ thảo luận về cấu trúc nguyên tử của tinh thể, trong đó đề cập đến mô hình được tạo ra bởi các trung tâm nguyên tử. Cấu trúc nguyên tử

4

chùm tia hẹp chính của RENTEN RAYS rơi xuống. Họ đang cố gắng chọn các điều kiện thí nghiệm sao cho tinh thể có khả năng tạo ra các tia. Khi đó tất cả các nguyên tử của tinh thể sẽ tham gia vào việc tạo ra bức xạ tán xạ (thứ cấp, nhiễu xạ - đây đều là các hình sin).

Hiện tượng được đề cập không hề đơn giản. Nhưng chúng ta không cần đi sâu vào chi tiết. Vì vậy, mọi vấn đề sẽ được giải quyết trong chủ đề này. Sự đơn giản hóa đầu tiên - chúng ta sẽ hạn chế nghiên cứu hình chiếu của cấu trúc tinh thể, cách thứ hai - chúng ta sẽ xem xét một mạng than hình chữ nhật, cách thứ ba - chúng ta sẽ giả sử rằng có một phân tử hai nguyên tử trong mỗi tế bào.

Đầu tiên chúng ta hãy giải quyết mô tả về “let” của mạng mà từ đó các nguyên tử được “loại bỏ”. Còn lại một nút. Hai cha con Bragg đã chỉ ra rằng nhiễu xạ của TIA RENTHEN có thể được coi là một loại phản xạ chọn lọc (nghĩa là chỉ xảy ra ở một số giá trị góc rời rạc nhất định) của các tia từ hệ thống mặt phẳng nút mà cách tử có thể được chia vào đó.

Rõ ràng là mạng không gian của tinh thể có thể được chia thành các họ mặt phẳng nút theo nhiều cách khác nhau. Trong hình chiếu của một mạng “được giải phóng” khỏi các nguyên tử, có thể dễ dàng hiển thị dấu vết của các mặt phẳng nút vuông góc với mặt phẳng vẽ (Hình 4). Chúng tôi chỉ mô tả năm chiếc máy bay gia đình. Tuy nhiên, những gì có hiệu quả đối với sự phản xạ có chọn lọc tồn tại như sẽ được mô tả dưới đây là những chi tiết không thể tách rời.

Hệ mặt phẳng nào được đặc trưng bởi các chỉ số $h$ và $k$. Ý nghĩa của chúng được minh họa bằng ví dụ về họ có chỉ số $h=10$ và $k=3$ (xem Hình 4). Để không làm lộn xộn bản vẽ, chúng tôi đã xây dựng sáu mặt phẳng gần nút $O$ và vẽ một mặt phẳng khác, được chỉ định là $L$. Mặt phẳng $L$ ở gần nút $O$, cắt một số nguyên chu kỳ $a$ và $b$ dọc theo cả hai trục mạng. Các số nguyên này bằng 3 trên một trục và 10 trên trục kia. Đi qua ô $O'$, mặt phẳng $L$ cắt bỏ phần $1/10$ của chu kỳ $a$ và $1/3$ của chu kỳ $b$. Ý nghĩa của chỉ số $h$ và $k$ trở nên rất thú vị. Chúng tôi giao việc cho bạn tạo một cụm từ thuộc loại mà các nhà toán học yêu thích: “Các chỉ số $h$ và $k$ được gọi là…”.

Hệ mặt phẳng còn được đặc trưng bởi cơ chế khoảng cách $d$. Mặt phẳng $L$ ở gần nút $O'$, do đó $|O'B| = d$. Các phân đoạn $|O'A|$ và $|O'C|$ có thể được viết là $b/k$ và $a/h$. Từ

$$\sin^2 O'AB + \cos^2 BO'C = 1,$$

chúng tôi nhận được

$$\frac{1}{d^2} = \frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2}.$$

(Chúng tôi khuyên bạn nên giải bài toán vượt qua bài toán, việc này sẽ khiến bạn mất hơn một giờ - in ana-

5

Hình 4.

một công thức logic cho mạng ba chiều, ô của nó là một hình song song xiên.)

Chúng ta tiến tới rút ra định luật cơ bản về sự phản xạ có chọn lọc của tia X bởi tinh thể. Để chùm tia tới, là sóng điện từ xác định độ dài $\lambda$, rơi vào tinh thể ở một góc nào đó. Chúng ta có quyền tin rằng sự phản xạ của sóng tia X sẽ xảy ra theo định luật: góc tới bằng góc phản xạ, nghĩa là theo định luật tương tự như đối với chùm tia quang học. Nhưng có sự khác biệt đáng kể với chùm tia quang học. Chùm ánh sáng không xuyên sâu vào tinh thể nhưng chùm tia X có thể xuyên qua tinh thể. Điều này có nghĩa là sự phản xạ của chùm tia X sẽ bắt nguồn không chỉ từ bề mặt bên ngoài của tinh thể mà còn từ tất cả các mặt phẳng nguyên tử của nó.

Chúng ta hãy xem xét một trong các hệ thống được đặc trưng bởi khoảng cách mặt phẳng $d$ (Hình 5). Mỗi mặt phẳng sẽ phản xạ chùm tia tới ở cùng một góc $\theta$ (được gọi là góc nhiễu xạ). Các tia phản xạ này đúng thì phải giao thoa với nhau. Hơn nữa, các tia thứ cấp (phản xạ) sẽ nối tiếp nhau nếu sau khi phản xạ từ tất cả các mặt phẳng trong họ, chúng truyền đi trong cùng một pha. Nói cách khác, nếu độ lệch đường đi giữa các chùm tia bằng số bước sóng $n$. Hiệu đường đi $|PM| + |MN|$ (xem Hình 5) giữa các tia phản xạ liền kề bằng $2d\sin\theta$ (hãy chứng minh điều đó!). Do đó, điều kiện nhiễu xạ - điều kiện cho sự thành công của tia phản xạ - sẽ có dạng

$$2d\sin\theta=n\lambda.$$ (2)

Nó được gọi là phương trình Bragg.

Một tinh thể, như chúng ta đã nói, có thể được chia thành các hệ thống mặt phẳng theo vô số cách. Nhưng hiệu quả đối với sự phản xạ (bạn hiểu ý nghĩa của những từ này phải không?) chỉ là một hệ mặt phẳng có cơ chế khoảng cách và định hướng tương đối với chùm tia tới sao cho phương trình Bragg được thỏa mãn.

Nếu chùm tia tới là đơn sắc (nghĩa là sóng điện từ có một chiều dài cụ thể), thì tại một vị trí tùy ý của tinh thể so với chùm tia, sự phản xạ có thể không xảy ra (hay nói đúng hơn là tổng hiệu ứng của khả năng phản xạ có thể bằng không). Tuy nhiên, bằng cách xoay tinh thể, chúng ta có thể luân phiên đưa các hệ mặt phẳng khác nhau vào vị trí phản chiếu. Chính cách làm việc này hóa ra lại phù hợp nhất trong thực tế.

6

Từ phương trình Bragg (phương trình (2)), suy ra rằng đối với một bước sóng nhất định, có một giá trị tối thiểu là khoảng cách $d$ giữa các mặt phẳng mà tại đó có thể xảy ra phản xạ chọn lọc. Khoảng cách này bằng $\lambda/2$ (vì sin không thể lớn hơn một). Mặt khác, từ công thức khoảng cách cơ học trên (công thức (1)) rõ ràng giá trị nhỏ nhất $d$ tương ứng với các giá trị nhỏ nhất $h$ và $k$.

Phần lớn, phân tích CẤU TRÚC THUÊ sử dụng một trong các bước sóng của bức xạ đặc trưng của đồng, cụ thể là 1,54 angstrom *). Khi đó khoảng cách cơ học nhỏ nhất có thể tham gia tạo ra hình ảnh nhiễu xạ là 0,77 angstrom. Với thông tin này, chúng ta có thể ước tính có bao nhiêu hệ mặt phẳng phản xạ nếu biết các chu kỳ mạng $a$ và $b$. Hãy thử giải hình học bài toán này cho angstrom $a=10$ và $b=20$.

Với mục đích này, cần vẽ một đường tròn có bán kính $1/\lambda$ trong không gian (trong trường hợp hai chiều của chúng ta - trong mặt phẳng) của mạng “nghịch đảo”. Và sau đó tính số… (HERO, đoán xem). Nhưng mạng “đảo ngược” là gì và tại sao chúng ta cần khái niệm mới này?

Trong trường hợp của chúng ta, mạng nghịch đảo là mạng có ô là hình chữ nhật có cạnh $1/a$ và $1/b$. Như bạn có thể thấy, tính từ “đảo ngược” được đáp ứng. Một mạng như vậy được xây dựng trong Hình 6. Hãy chọn gốc tọa độ tại bất kỳ nút nào và vẽ các trục tọa độ - một trục chuẩn lại với trục tinh thể, dọc theo đó chu kỳ bằng $a$, trục tọa độ thứ hai được xác định lại cho trục có chu kỳ $b$. Bây giờ chúng ta hãy vẽ một vectơ trong mạng này (nó được gọi là vectơ mạng nghịch đảo) nối phần đầu của báo cáo với nút mạng nghịch đảo, có số là 10 dọc theo một trục và 3 dọc theo trục kia. Độ dài của vectơ này là bao nhiêu?

*) 1 angstrom = 1 Å = 10⁻¹⁰ m.

Hình 6.

7

Hình 7.

bằng phương pháp chụp ảnh hoặc sử dụng máy ảnh khởi tạo, bộ đếm Geiger hoặc thiết bị khác ghi lại quá trình khởi tạo nghiên cứu.

Tất nhiên, bây giờ tất cả điều này được thực hiện tự động, nhưng vào thời điểm những người viết những dòng này bắt đầu làm việc, quy trình là như thế này. Tinh thể đã được lắp đặt, sau đó việc thu chùm tia thứ cấp được thực hiện trên toàn bộ phạm vi góc. Đồng thời, mắt dõi theo thiết bị hiển thị dòng điện. Sau đó, tinh thể được quay, chẳng hạn như một độ, và sau đó những hành động này được lặp lại cho đến khi chúng ta “va chạm” vào chùm tia phản xạ. Trong trường hợp này, như được thấy rõ trong Hình 7, hai góc đã được ghi lại: giá trị của góc Bragg θ và vị trí của pháp tuyến đối với mặt phẳng phản xạ (đối với bất kỳ phần đầu tùy ý nào của báo cáo).

Một tờ giấy nằm trước mặt nhà nghiên cứu và anh ta bắt đầu xây dựng một mạng lưới đối ứng. Tôi đặt vị trí của pháp tuyến sang mặt phẳng phản xạ và vẽ giá trị $n/d$ trên đường pháp tuyến này, giá trị này được xác định duy nhất từ ​​phương trình Bragg. Khi công việc này hoàn thành (ngày xưa nó chiếm không gian, nhưng bây giờ máy đo nhiễu xạ tự động thực hiện nó nhanh hơn hàng trăm lần), nhà vật lý đã thu được hình ảnh của một mạng nghịch đảo. Từ quán bar của cô, anh ngay lập tức phát hiện ra

Hình 8.

số đo của tế bào tinh thể và mỗi phản xạ có thể được gán số vị trí mạng đối ứng, và do đó chỉ số $h$ và $k$ cũng như thứ tự phản xạ $n$.

Ngoài ra, nhà nghiên cứu còn biết cường độ của mọi phản xạ. Vì vậy, anh ta thực tế có sẵn tất cả thông tin về cấu trúc của tinh thể, mọi thứ liên quan đến bản chất cấu trúc của các phân tử từ nguyên tử và tinh thể từ các phân tử.

Bây giờ chúng ta cần chuyển từ mạng “trống” gồm một nút sang mạng chứa đầy các nguyên tử. Mỗi chi tiết của kiểu nhiễu xạ có bị ảnh hưởng bởi cấu trúc của tế bào không? Đáp số diễn ra như sau: cấu trúc của tế bào ảnh hưởng đến cường độ tia phản xạ. Đối với hình dạng của mẫu khuếch tán, nó chỉ được xác định bởi loại cách tử. Các nguyên tử bên trong tế bào không thêm các tia phản xạ “thêm”. Đồng thời, rất có thể cấu trúc của tế bào sẽ khiến một số phản xạ biến mất - đưa cường độ của chúng về 0.

Kết luận này đến từ đâu? Thực tế là các nguyên tử bên trong tế bào không tạo ra các hệ thống mặt phẳng mới. Mô hình nguyên tử chỉ dẫn đến sự xuất hiện của các mặt phẳng “được chèn vào”. Hãy nhìn xem, Hình 8 hiển thị lưới giống như trong Hình 4. Nhưng bây giờ nó không “trống”. Hãy chọn lại càng nhiều càng tốt

8

trường hợp đơn giản. Giả sử rằng một mạng thực sự được tạo thành từ các phân tử hai nguyên tử và vị trí mạng được lấy ở trung tâm của một phân tử như vậy. Một hệ mặt phẳng thực (trường hợp $h=2$ và $k=1$ lấy làm ví dụ) sẽ xuất hiện như Hình 8. Chùm tia phản xạ sẽ bị đẩy cùng chiều, góc Bragg không thay đổi.

Chúng ta hãy chỉ ra rằng cường độ của chùm tia phản xạ sẽ phụ thuộc vào cấu trúc của tế bào - trong trường hợp này là vào khoảng cách giữa các phân tử trong phân tử và vào góc tạo bởi trục của phân tử với trục của tế bào.

Cường độ bức xạ tỷ lệ thuận với bình phương biên độ sóng. Thật vậy, tại điểm quan sát, trường được tạo bởi mạng nguyên tử được viết là $A \cos \omega t$. Cường độ là $\frac{A^2 \cos^2 \omega t}{\alpha}$. Dấu gạch ngang ở trên có nghĩa là đang cập nhật theo thời gian (dao động xảy ra nhanh chóng và kinh nghiệm ghi lại giá trị trung bình). Nhưng $\cos^2 \omega t = \frac{1}{2}$ (điều này rất dễ chứng minh). Do đó, cường độ tỷ lệ thuận với $A^2$ - bình phương biên độ sóng.

Trong trường hợp mạng gồm các phân tử hai nguyên tử, trường kết quả của sóng điện từ có thể được coi là tổng trường của hai mạng đơn giản. Hai trường này sẽ đến điểm quan sát với sự dịch pha mà chúng ta sẽ ký hiệu là $2\alpha$. Giữ biểu thức $A \cos \omega t$ cho mạng nút, bây giờ chúng ta viết tổng các trường của hai mạng dưới dạng

$$A \cos (\omega t + \alpha) + A \cos (\omega t - \alpha).$$

Mỗi nút được “mở rộng” thành hai hạt, tạo ra một trường có pha nhất định và hạt kia có độ trễ. Cộng, bình phương và lấy trung bình theo thời gian, ta thấy cường độ của chùm tia phản xạ sẽ tỉ lệ với $\cos^2 \alpha$.

Theo định nghĩa, $\alpha = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta$, trong đó $\lambda$ là bước sóng và $\Delta$ là hiệu đường đi. Mặc dù đạo hàm của biểu thức cho hiệu đường đi $\Delta$ không khác với đạo hàm của công thức Bragg, tuy nhiên, chúng tôi đã tiến hành xây dựng cẩn thận cho trường hợp này trong Hình 9, từ đó người đọc, sau một chút đắn đo, sẽ tìm thấy biểu thức mong muốn:

$$\Delta = |OC| + |OD| = 2r_n \sin \theta,$$

trong đó $r_n$ là hình chiếu của vectơ bán kính $r$ (nối các nguyên tử của phân tử) lên hướng truyền của sóng phản xạ (về hướng pháp tuyến $n$), $\theta$ là góc tán xạ Bragg. Chúng tôi sử dụng phương trình Bragg và định nghĩa vectơ nghịch đảo:

$$\Delta = 2r_n \sin \theta = \lambda r_n \frac{n}{d},$$

sự lệch pha đến từ đâu?

$$\alpha = \frac{2\pi \Delta}{\lambda} = 2\pi r_n \frac{n}{d}.$$

Vì vậy, cường độ của sóng phản xạ, tỷ lệ với $\cos^2 \alpha$, thực sự được xác định bởi cấu trúc của ô đơn vị của tinh thể. Rõ ràng, nếu không có hai nguyên tử trong một ô mà là nhiều nguyên tử, thì mọi lý do sẽ giống nhau.

Chà… bài toán đã giải quyết được chưa? Cường độ của các tia nhiễu xạ liên quan đến cấu trúc nói chung là một công thức đơn giản; Việc tính cường độ tia phản xạ từ một cấu trúc nhất định không khó. Vấn đề là xác định sự khác nhau về đường đi giữa các sóng phản xạ bởi tất cả các cách tử “được chèn vào”. Bạn có thể đối phó với nhiệm vụ này đối với một tinh thể bao gồm