Thành phần của hai đối xứng trục

36

B. Geidman

Thành phần của hai đối xứng trục

Lý do học sinh ghi chú là bài toán 56 từ số bài toán về việc lặp lại trong quá trình học lớp VI-VIII của SGK “Hình học 8”. Chứng minh rằng hợp phần của hai đối xứng có các trục cắt nhau một góc α là một phép quay, trong đó tâm quay là giao điểm của các trục và góc quay là 2α.

Góc α ở đây có ý nghĩa gì? Nếu α là giá trị của góc giữa các trục đối xứng thì α nhận giá trị từ 0° đến 90°. Đồng thời, góc quay được đặc trưng bởi một giá trị hướng và 2 α có thể nhận giá trị từ -180° đến 180°*). Có lẽ chúng ta đã “may mắn” và góc α giữa các trục đối xứng tương ứng với góc quay 2α trong khoảng từ 0° đến 180°? Không thực sự. Chúng ta sẽ làm rõ điều này sau, nhưng bây giờ hãy chuyển sang giải bài toán.

Thành phần của hai đối xứng qua trục l và m cắt nhau tại điểm O rõ ràng là cố định điểm O duy nhất của mặt phẳng. Được biết, trộn_

*) Nhắc lại các trường hợp sử dụng đại lượng góc trong môn học hình học VI-VIII:

1. giá trị của góc α (hình hình học) nằm trong khoảng: 0°<α<360°;
2. góc giữa hai dầm nằm trong khoảng: 0°<α<180°;
3. góc giữa hai đường thẳng nằm trong khoảng: 0°<α<90°;
4. bất kỳ phép quay nào được đặc trưng bởi một góc nằm trong giới hạn: -180°<α≤180°.

Hình 1. Hình 2.

37

Hình 3.

Hình 4.

Hình 5.

Lennoy Chúng ta sẽ giả sử rằng góc định hướng từ đường thẳng l đến đường thẳng m có modulo bằng tổng góc giữa chúng và dấu của nó là dương; nếu, với một phép quay đủ nhỏ quanh điểm giao nhau O ngược chiều kim đồng hồ, đường thẳng l nằm trong góc nhọn (hoặc góc vuông) được tạo bởi các đường thẳng này. Nếu đường thẳng l nằm trong một góc nhọn (hoặc góc phải) với một góc quay nhỏ theo chiều kim đồng hồ quanh điểm O, thì góc từ đường thẳng l đến đường thẳng m là âm và mô đun của nó bằng tổng góc giữa các đường thẳng. Góc từ đường thẳng này đến chính nó được coi là bằng 0°. Như vậy, giá trị góc định hướng α từ đường thẳng l đến đường thẳng m lấy các giá trị sau: -90°<α≤90°; mỗi ngày

Giao điểm của đường thẳng l và m xác định hai góc định hướng - góc từ đường thẳng l đến m, bằng α và góc từ đường thẳng m đến l, bằng (-α).

Với cách tiếp cận này đối với độ lớn của góc giữa các đường thẳng, thành phần của hai đối xứng và chuyển động quay quanh điểm giao nhau của các trục của chúng bị loại bỏ. bài toán của chúng tôi bây giờ có thể được hình thành chính xác hơn như sau:

Gọi góc từ đường thẳng l đến m bằng α; Thành phần mô hình đối xứng S_m° S_l là phép quay quanh giao điểm của các trục O này một góc 2α.

Chúng ta hãy minh họa cách tiếp cận tương tự bằng cách chứng minh định lý nổi tiếng về góc nội tiếp.

Định lý. Độ lớn của góc nội tiếp bằng một nửa độ lớn góc của đấu *) mà nó tựa vào.

Bằng chứng. Góc ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Vẽ các đường thẳng l và m qua O, vuông góc với các cạnh của nó. Các đường thẳng này lần lượt đi qua trung điểm của dây AB và BC.

Cho ABC = α, trong đó 0°<α<90°. Trong trường hợp này, góc từ đường thẳng l đến m có thể bằng α (Hình 3) hoặc (–α) (Hình 4). Tổ hợp các đối xứng S_m° S_l sẽ chuyển điểm A sang điểm C, vì với S_l A đi vào B, và với S_m-B vào C. Mặt khác, tổ hợp này có thể thay thế bằng một phép quay R_0^2α hoặc R_0^{-2α} quanh tâm O một góc 2α hoặc (-2α), hơn nữa C = R_0^2α (A) hoặc C = R_0^{-2α}(A). Trong cả hai trường hợp, độ lớn góc của duna AnC, trên đó góc nội tiếp ABC nằm trên đó, bằng 2α (vì điểm A đi đến C, đi qua duna AnC).

Cho ABC = α, trong đó α>90°. Khi đó góc giữa các đường thẳng l và m có thể bằng (α—π) (Hình 5) hoặc (π—α) (Hình 6).

Tổ hợp các đối xứng S_m° S_l, lấy điểm A đến điểm C,

*) Theo định nghĩa, giá trị góc của duennas bằng giá trị của góc ở tâm tương ứng α, tức là nó nhận các giá trị trong phạm vi: 0°<α<360°.