Bài toán độc giả của chúng tôi

38

Hình 6.

Hình 7.

trong trường hợp này có một vòng quay $R_0^{2(\alpha-\pi)}$ hoặc $R_0^{2(\pi-\alpha)}$. Chấm $C = R_0^{2(\alpha-\pi)}$ (A) hoặc $C = R_0^{2(\pi-\alpha)}$ (A). Đỉnh góc của cung $ABC$ bằng 2 ($\pi-\alpha$) (điểm $A$ đi đến điểm $C$, di chuyển dọc theo cung $ABC$) và cung $AnC$, trên đó có góc nội tiếp $ABC$ tựa vào, có đỉnh góc là 2$\pi$-2 ($\pi-\alpha$) = 2$\alpha$. Định lý đã được chứng minh.

Tóm lại, hai bài tập đơn giản.

1°. Hình 7 cho thấy một “hình vuông ma thuật” trong đó một ô vẫn chưa được lấp đầy. Ô nào trong số các ô đã sử dụng của “hình vuông ma thuật” sẽ nằm trong ô trống? Đáp số cung cấp biện minh.

2°. Các hình tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ đối xứng qua hai đường thẳng khác nhau $l$ và $m$. Chứng minh rằng các tam giác này đều đều.

Bài tập
của chúng tôi
độc giả

1. Chứng minh rằng nếu
   $0 < a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \dots \leq a_n$;
   $b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq \dots \geq b_n > 0$,
   thì bất đẳng thức giữ nguyên
   $\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} +$
   $\frac{a_3}{b_3} + \dots + \frac{a_n}{b_n} \geq$
   $\frac{n}{b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n}$.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
   $\text{tg}^2\alpha_1 + \text{tg}^2\alpha_2 + \text{tg}^2\alpha_3 + \dots + \text{tg}^2\alpha_n$,
   Nếu như
   $\sin^2\alpha_1 + \sin^2\alpha_2 +$
   $\sin^2\alpha_3 + \dots + \sin^2\alpha_n =$
   $\frac{1}{2}n$

($i = 1, 2, 3, \dots, n$).

S. Berkolaiko

3. Chứng minh rằng
   a) nếu $a, b$ và $c$ là độ dài các cạnh của tam giác thì
   $a^2 + b^2 > \frac{1}{2}c^2$;

b) $a, b, c$ và $d$ là độ dài các cạnh của hình bình hành và một trong các đường chéo của nó, khi đó
$a^2 + b^2 + c^2 > \frac{1}{3}d^2$.

B. Malinin

4. Chứng minh rằng trong một tam giác tùy ý
   $S^3 \leq \frac{P^7}{2^{15}R}$,

trong đó $S$ là diện tích của nó, $P$ là chu vi, $R$ là bán kính của hình tròn được mô tả xung quanh nó.

A. Aevaev
(học sinh lớp 9)