Задачи наших читателей

38

Рис. 6.

Рис. 7.

в этом случае есть поворот $R_0^{2(\alpha-\pi)}$ или $R_0^{2(\pi-\alpha)}$. Точка $C = R_0^{2(\alpha-\pi)}$ (А) или $C = R_0^{2(\pi-\alpha)}$ (А). Угловая вершина дуги $ABC$ равна 2 ($\pi-\alpha$) (точка $A$ переходит в точку $C$, двигаясь по дуге $ABC$), а дуга $AnC$, на которую опирается вписанный угол $ABC$, имеет угловую вершину 2$\pi$-2 ($\pi-\alpha$) = 2$\alpha$. Теорема доказана.

В заключение два несложных упражнения.

1°. На рисунке 7 изображен «магический квадрат», в котором осталась незаполненной одна клетка. Какой из воспользованных заполненных клеток «магического квадрата», должен стоять в пустой клетке? Ответ поставляется обосновать.

2°. Треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ симметрины относительно двух различных прямых $l$ и $m$. Доказите, что эти треугольники — правильные.

Задание
наших
читателей

1. Докажите, что если
   $0 < a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \dots \leq a_n$;
   $b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq \dots \geq b_n > 0$,
   то выполняется неравенство
   $\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} +$
   $\frac{a_3}{b_3} + \dots + \frac{a_n}{b_n} \geq$
   $\frac{n}{b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n}$.

2. Найдите наименьшее значение суммы
   $\text{tg}^2\alpha_1 + \text{tg}^2\alpha_2 + \text{tg}^2\alpha_3 + \dots + \text{tg}^2\alpha_n$,
   если
   $\sin^2\alpha_1 + \sin^2\alpha_2 +$
   $\sin^2\alpha_3 + \dots + \sin^2\alpha_n =$
   $\frac{1}{2}n$

($i = 1, 2, 3, \dots, n$).

C. Берколайко

3. Докажите, что
   a) если $a, b$ и $c$ — длины сторон треугольника, то
   $a^2 + b^2 > \frac{1}{2}c^2$;

b) $a, b, c$ и $d$ — длины сторон параллелепипеда и одной из его диагоналей, то
$a^2 + b^2 + c^2 > \frac{1}{3}d^2$.

B. Малинин

4. Докажите, что в произвольном треугольнике
   $S^3 \leq \frac{P^7}{2^{15}R}$,

где $S$ — его площадь, $P$ — перimeter, $R$ — радиус описанной около него окружности.

A. Аеваев
(ученик 9 класса)