Задачи наших читателей

53

Задание наших читателей

1. Докажите, что
   a) $\frac{2 \cdot 1 + 1}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{2 \cdot 2 + 1}{2^2 \cdot 3^2} + \frac{2 \cdot 3 + 1}{3^2 \cdot 4^2} + \dots$
   $... + \frac{2 \cdot 1977 + 1}{1977^2 \cdot 1978^2} = \frac{1977 \cdot 1979}{1978^2}$;
   b) $\mathrm{arctg} \frac{\alpha}{\alpha^2 + 1 \cdot 2} + \mathrm{arctg} \frac{\alpha}{\alpha^2 + 2 \cdot 3} + \dots$
   $... + \mathrm{arctg} \frac{\alpha}{\alpha^2 + 1977 \cdot 1978} =$
   $= \mathrm{arctg} \frac{1977 \alpha}{\alpha^2 + 1978}$.
   H. Адцёйзалов

2. Докажите, что если $k, l, p$ и $q$ — натуральные числа, то
   a) из $k + l \geq p + q$ следует, что
   $$\left( \frac{p}{k} \right)^k \cdot \left( \frac{q}{l} \right)^l \leq 1;$$

6. из $k + l + n \geq p + q$ следует, что
   $$\left( \frac{p}{k} \right)^k \cdot \left( \frac{q}{l} \right)^l \leq e^n.$$
   Я. Суконик

3. Найдите сумму
   a) $C_0^0 + \frac{1}{4} C_1^1 + \frac{1}{16} C_2^2 + \dots + \frac{1}{4^k} C_2^k$;
   b) $C_{2n+1}^0 + \frac{1}{3} C_{2n+1}^2 + \frac{1}{5} C_{2n+1}^4 + \dots$
   $... + \frac{1}{2n+1} C_{2n+1}^n$.
   A. Резников

4. Докажите, что
   $$C_0^0 C_{2n}^n + C_1^1 C_{2n}^{n-1} + C_2^2 C_{2n}^{n-2} + \dots$$
   $... + C_{2n}^n C_0^0 = 4^n$.
   C. Конякин