Задачи XL Московской математической олимпиады школьников

55

Задчи
ХL Московской математической олимпиады ШКОЛЬНИКОВ

С 27 февраля по 27 марта 1977 года проходила традиционная Московская математическая олимпиада. Первый тур проводился только для десятиклассников, остальные классы (7—9-e) сразу участвовали во втором, заключительном туре, вместе с десятиклассниками, успешно прошедшими первый тур. Ниже мы публикуем предложенные на олимпиаде задачи.

Первый тур (десятый класс)

1. Последовательность натуральных чисел $\{x_n\}$ строится по следующему правилу: $x_1=2, x_{n+1}=[1,5 x_n]$ ([ ] — целая часть числа).
   a) Доказать, что в последовательности $\{x_n\}$ бесконечно много нечетных чисел.
   b) Доказать, что в последовательности $\{x_n\}$ бесконечно много четных чисел.
   (C. Коняец)

2. На столе расположено $n$ картоных квадратов и $n$ пластмассовых квадратов. Никакие два картоных квадрата не имеют общих точек, в том числе и точек границ. То же самое имеет место и для пластмассовых квадратов. Оказалось, что множество вершин картоных квадратов совпадает с множеством вершин пластмассовых квадратов. Обязательно ли каждой картоный квадрат совпадает с некоторым пластмассовым?
   (B. Прасолов)

3. a) Двенадцать тонких твердых стержней длины 1 скрепили так, чтобы получился каркас куба. Можно ли сделать в плоскости отверстие плошади меньше 1/100, не разбиывающее плоскость на куски, чтобы через него можно было бы протащить этот каркас?
   b) Тот же вопрос для каркаса тетраэдра с ребром длины 1.
   (B. Прасолов)

4. Каждая точка числовой оси, координата которой — целое число, показана либо в красный, либо в синний цвет. Доказать, что найдется цвет со следующим свойством: для каждой натурального числа $k$ имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на $k$. (C. Коняец)

Заключительный тур

5. (7—8 кл.) В каждой вершине выпуклого $k$-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружем. Все охотники одновременно выстрелли в зайца, сидящ его точеке $O$ внутри этого $k$-угольника. В момент выстрела заяц прибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме $O$, обладающей указанным свойством.
   (C. Елисеев)

6. (7—8 кл.). Куб $3\times 3\times 3$ составлен из 14 белых и 13 черных кубков со стороны 1. Столбик — это три кубика, стоящих рядом вдоль одного направления: ширины, длины или высоты. Может ли быть так, что в каждом столбике a) нечетное количество белых кубков? 6) нечетное количество черных кубков?
   (B. Авилов)

7. (7—8 кл.). Докажите, что можно найти любые тисчи троек натуральных чисел $a, b, c$, для которых выполняется равенство $a^{15} + b^{15} = c^{16}$.
   (D. Берништейн)

8. (7 кл.) В доке торчит 1977 гвоздей. Играют двее, ходят по очереди. Ход состоит в том, что играющий соединяет проводом два гвоздя. Если в результате хода оказалась замкнутая цель, то сделавший этот ход считается выграшим. Кто выигравает при правлении игре: первый или второй? (Не разрешается соединять проводом два гвоздя уже соединенных гвоздя.)
   (H. Аeaxанов)

9. (7—8 кл.) Найти наименьшее $n$ такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения $n$ треугольников. Докажите, что для меньших $n$ это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.
   (C. Ландо)

10. (9 кл.) В пространстве расположено $n$ отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перpendикularна обобщим отрезкам. При каком наиболее $n$ это возможно?
    (G. Гальперин)

11. (9—10 кл.) См. задачу М479.*

12. (8—10 кл.) См. задачу М478.

13. (9 кл.) В пространстве расположен выпуклый многоугольник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на ребрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой — целые числа.) Доказать, что число вершин многоугольника не превозходит восьми.
    (C. Миронов)

14. (9—10 кл.) См. задачу М477.

15. (10 кл.) Можно ли на плоскости расположить бесконечно многожелевых кругов так, чтобы любая пряма пересекала не более двух кругов?
    (H. Константинов)

16. (10 кл.) Последовательность натуральных чисел $\{x_n\}$ строится по следующему правилу: $x_1=2, \dots, x_n=[1,5 x_n-1]$ ([.]— целая часть числа). Доказать, что последовательность $y_n=(-1)^{x_n}$ неперiodическая.
    (C. Коняец)

Г. Гальперин

*) «Задачник «Кванта», «Квант», 1977, № 12.