Множества значений числовых функций

49

Множества значений числовых функций

Напомним, что множество значений $E(f)$ числовой функции $f$ называется множество всех $a \in \mathbb{R}$, для которых существует хотя бы одно $x \in D(f)$ такое, что $f(x) = a$. Можно сказать по-другому: $E(f)$ состоит из тех $a$, при которых уравнение $f(x) = a$ имеет хотя бы одно решение. В простых случаях это уравнение можно исследовать и тем самым отыскать $E(f)$.

Пример 1. Найдем множество значений функции

$$f(x) = \frac{2x}{1+x^2}.$$

Уравнение $f(x) = a$ переписывается в виде $ax^2 - 2x + a = 0$; при $a = 0$ ему удовлетворяет $x = 0$, а в случае $a \neq 0$ мы имеем квадратное уравнение, которое имеет решение лишь при таких $a$, при которых его дискриминант неотрицательен: $D = 4 - 4a^2 \geq 0$, т. е. $a^2 \leq 1$, или $a \in [-1; 1]$ (и $a \neq 0$). Итак, уравнение $f(x) = a$ имеет решение тогда и только тогда, когда $a \in [-1; 1]$, поэтому $E(f) = [-1; 1]$. Заметим, что одновременно мы нашли наименьшее и наиболее значения функции $f$ — $\min f = -1$, $\max f = 1$.

Задание 1-3. Найти множество значений указанных функций, а также их наименьшее и наименьшее значения (в тех случаях, когда они существуют).

1. a) $\frac{2x}{1+x}$; 6) $\frac{1}{1+x^2}$; 8) $\frac{1}{1-x^2}$.
2. a) $\pi^x - 3$; 6) $\log_2 x + \log_x 2$;
   b) $tg x + ctg x$.
3. a) $\cos^2 x + \cos 2x$; 6) $\sin x \cdot \cos x$;
   b) $\sin^4 x + \cos^4 x$.

В ряде случаев отмечание множество значений данной функции сво-

дится к исследованию квадратной функции на том или ином промежутке. Чтобы не ошибиться, полезно нарисовать график этой квадратной функции.

Пример 2. Найдем множество значений функции

$$f(x) = 2\cos x + \cos 2x.$$

Перепишем $f(x)$ в виде $f(x) = 2\cos x + 2\cos^2 x - 1 = 2z^2 + 2z - 1$, где через $z$ обозначена функция $\cos x$. Поскольку $z \in [-1; 1]$, остается выяснить, каково множество значений квадратной функции $g(z) = 2z^2 + 2z - 1$ на отрезке $[-1; 1]$. График функции $g(z)$ является парабола с вершиной в точке с абсциссой $z_0 = -1/2$ (поясните), направленная ветями вверх. Мы имеем: $g(z_0) = -3/2$, $g(-1) = -1$, $g(1) = 3$. Если построить график квадратного трехчлена, то ясно, что множество значений $g$ на отрезке $[-1; 1]$ (или множество тех $a$, при которых уравнение $g(z) = a$ имеет хотя бы один корень $z \in [-1; 1]$), есть отрезок $[-3/2; 3]$. Следовательно, множество значений значений функции $f(x) = 2\cos x + \cos 2x$ есть отрезок $[-3/2; 3]$. Задно мы нашли $\min f = -3/2$ и $\max f = 3$.

Задание 4-5. Исследуя подхождения квадратные функции на соответствующих промежутках, найдем множество значений следующих функций, а также их наименьшие и наименьшие значения.

4. a) $6\cos x + \cos 2x$; 6) $\sin x + \cos 2x$.
5. a) $4x - 2x^2 + 3$; 6) $4\sin x - 2\sin x + 2$.

При отсутствии множества значений функции вида

$$f(x) = A\cos x + B\sin x$$

можно выразить cos $x$ и sin $x$ через $t = tg(x/2)$ (см. «Алгебра и начала» 10», п. 91) и затем исследовать получающей уравнение (относительно $t$ оно будет квадратным).

Однако быстрее и проще это делается так:

$$A\cos x + B\sin x = \sqrt{A^2 + B^2} \times \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cos x + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \sin x \right);$$

поскольку

$$\left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right)^2 + \left( \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right)^2 = 1,$$

50

существует такое значение $\alpha$, что
$$\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \sin \alpha = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
(объясните), и поэтому
$$A \cos x + B \sin x = \sqrt{A^2 + B^2} \left( \cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha \right) = \sqrt{A^2 + B^2} \cos (x - \alpha)$$.

Поэтому множество значений функции $f(x) = A \cos x + B \sin x$ есть отрезок $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$, то же относится и к функции вида $A \cos \omega x + B \sin \omega x$, где $\omega \neq 0$.

З а д а ч а 6. Укажите множество значений следующих функции:

a) $\cos x - \sin x + 1; 6)$ $3 \cos \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2};$
b) $\cos^2 x - \sin x \cos x$.

По сути, во всех разобранных примерах и приведенных задачах решения уравнения $f(x) = a$ можно выписать в явном виде, т. е. уравнение $f(x) = a$ с параметром $a$ «решается» (сводится к линейным, квадратным или простейшим показательным, логарифмическим и тригонометрическим уравнениям). Благодаря этому наименьше и наиболее значения расматриваемых функций отыскиваются без использования произвольной (более того, исследование с помощью произвольной здесь зачастую было бы более громоздким, чем алгебраической исследование). В случае же, когда уравнение $f(x) = a$ не подается непредседательному решению («не решается»), разумно пояты обратным путем, который мы сейчас и опишем.

Пример 3. (Эта задача взята из «Примерных вариантов вступительных экзаменов по математике вузы в 1977 г.», «Квант», 1977, № 6, с. 89). Найдем множество значений функции

$$f(x) = \sin x \cdot \cos 2x$$

Обозначив $\sin x = z$, мы можем записать: $f(x) = g(z) = z (1 - 2z^2) = z - 2z^3$. Как и в примере 2, задача свойства к отысканию множество значений функции $g$ на отрезке $[-1; 1]$. Заметим, что уравнение $g(z) = a - кубическое$, и решить его мы не можем. Найдем наименьшее и наиболее значения функции $g$ на отрезке $[-1; 1]$. Действуя по общей схеме исследования функции на отрезке (см. «Алгебра и начала анализ 9», п. 59), находим критические точки функции: $g'(z) = 1 - 6z^2 = 0$ при $z^2 = 1/6$, т. е. $z = \pm \sqrt{1/6}$; обе критические точки принадлежат отрезку $[-1; 1]$, а значения функции в них следующее:

$$g(\sqrt{1/6}) = \sqrt{6}/9, g(-\sqrt{1/6}) = -\sqrt{6}/9.$$

Сравнивая эти значения со значениями в концах отрезка, — с $g(-1) = 1$ и $g(1) = 1$, — получаем: $\min(z - 2z^3) = -1, \max(z - 2z^3) = 1.$

Поскольку функция $g$ всегда не перерывна, естественно заключит, что $g$ принимает любые значения между наименьшим и наиболеешим, т. е. $E(g) = E(f) = [-1; 1]$. Чтобы это доказать, мы воспользуемся важной теоремой о множестве значений неперерывной monotonной функции:

если функция $F$ не перерывна и возрастает (или убывает) на отрезке $[a; b]$, то множество значений, принимаемых функцией $F$ на этом отрезке, также является отрезком: $[F(a); F(b)]$ (или $[F(b); F(a)]$, если $F$ убывает).

Эта теорема в более общей и полной формеулировке приведена в п. 84 учебника «Алгебра и начала анализ 10» (без доказательства). Возвращая к нашей функции, получаем, что $g$ возрастает на отрезке $[-\sqrt{1/6}; \sqrt{1/6}]$ и убывает на отрезках $[-1; -\sqrt{1/6}], [\sqrt{1/6}, 1]$.

Согласно последней теореме множеств $g$ на этих отрезках будут, соответствующей отрезки $[-\sqrt{6}/9; \sqrt{6}/9], [-\sqrt{6}/9; 1]$ и $[-1; \sqrt{6}/9]$;

их объединение дает множество значений функции $g$ на всем отрезке $[-1; 1] - E(g) = [-1; 1]$.

З а д а ч и 7—8. Найдете множество значений указываемых функций.

7. $x^3 - 6x^2 + 9x$, если: a) $x \in [2; 4]$; b) $x \in [-2; 2]$.

8. a) $\cos x \cdot \sin 2x$; b) $\sin x + \sin 3x$.

З а д а ч а 9. В каких пределах может изменяться объем конуса с образующей длины 1 дм?

З а д а ч а 10. В каких пределах может быть заключита площад полной поверхности цилиндра объемом 1 дм?