Решения задач М441—М443; Ф453—Ф457

28

Решения задач
M441 — M443; Ф453 — Ф457

M441. Внутри выпуклого 2n-уольника взята точка P. Через каждой вершину и точку P проведена прямая. Доказим, что найдется сторона многоугольника, с коморой ни одна из проведенных прямых не имеет общих точек (кроме, быть может, концов стороны).

Рис. 1.

Внутем говорить, что прямая пересекает сторону многоугольника M, если их точка пересечения не совпадает с вершиной многоугольника.

Возможны два случая: 1) точка P принадлежит какой-нибудь диагонали AB многоугольника M; 2) точка P не принадлежит ни одной из диагоналей многоугольника M.

В первом случае прямые PA и PB совпадают с (AB) и не пересекают никаких сторон M, а прямые, проходящие через точку P и оставшиеся 2n-2 вершины M пересекают не более 2n-2 сторон. Поэтому по крайней мере две стороны многоугольника M не пересекает ни одна из проведенных прямых.

Пусть теперь P не лежит ни на одной из диагоналей M. Возьмем такую диагональ AB многоугольника M, которая делит его границу на две n-звенные ломанные Γ1 и Γ2, а 2n-угольник M — на два выпуклы (n+1)-угольника M1 и M2 (рис. 1). Допустим, что P находится внутри M1; и пусть C — произвольная вершина многоугольника M2 (отличная от A и B). Поскольку M1 и M2 находятся по разные стороны от (AB), P∈M1, C∈M2 и многоугольник M — выпуклый, прямые PC и AB пересекаются в некоторое точке K∈[AB] (см. рис. 1). Примая PC, проходящая через внутреннюю точку многоугольника M1 и пересекающая его границу в точке K на стороне AB, пересекает границу M1 еще в одной точке, не лежащей на AB, т. е., пересекает Γ1. Итак, любая прямая, проходящая через вершины Γ2 (отличные от A и B), пересекает границу выпуклого многоугольника M в двух точках: вершине Γ2 и точке, лежащей на Γ1 (возможно, совпадающей с вершиной Γ1). Следовательно, любая прямая не пересекает звеньев ломаной Γ2.

Аналогично доказывается, что прямые AP и BP также не пересекают звеньев ломаной Γ2.

Итак, n+1 прямых пересекают не более чем n сторон многоугольника M (звеньев ломаной Γ1). Оставшиеся n-1 прямых не могут пересечь более чем n-1 сторон многоугольника M (звеньев ломаной Γ2). Следовательно, хотя бы одна сторона (звеньев ломаной Γ2) не пересекается ни одной из проведенных через точку P и вершины многоугольника M прямых.

Г. Гуревищ

Перепишем сумму $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{p-1}$ так:

$$(a_1 + a_{p-1}) + (a_2 + a_{p-2}) + \dots + (a_{\frac{p-1}{2}} + a_{\frac{p+1}{2}})$$

($p-1$ — четное число; в последней сумме $\frac{p-1}{2}$ выражений в скобках). Расмотрим одно из выражений $a_i + a_{p-i}$, заключенных в скобки. Легко заметить, что

$$i^p + (p-i)^p = p^p - C_p^1 \cdot i \cdot p^{p-1} + \dots + C_p^{p-1} \cdot i^{p-1} \cdot p = p^2 l$$

— делится на $p^2$ (поскольку $C_p^{p-1} = p$; $p > 2$, $1 \leq i \leq p-1$). Поэтому $a_i + a_{p-i}$ делится на $p^2$; и так как $a_i < p^2$, $a_{p-i} < p^2$, то $a_i + a_{p-i} = p^2$ для всех $i = 1, \dots, p-1$. Итак,

$$a_1 + a_2 + \dots + a_{p-1} = (a_1 + a_{p-1}) + \dots +$$

$$+ (a_{\frac{p-1}{2}} + a_{\frac{p+1}{2}}) = p^2 \cdot \frac{p-1}{2} = (p^3 - p^2)/2$$

что и утверждалось.

С. Охимин

29

М443. Имеется таблица $n \times n$ клеток, в каждой клетке которого вначале стомит 0. Разрешается произвольно выбрать $n$ чисел, стоящих в разных строках и разных столбцах, и уведомить каждое из них на 1.

a) Может ли за несколько шагов получить таблицы, изображенные на рисунках 2 и 3?

b) Может ли получить таблицу с попарно различными числами?

b) Какие вообще таблицы можно получить через $T$ шагов?

Рис. 2.

| 1 | 2 | 3 | • • • | $n$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| 2 | 3 | 4 | • • • | 1 |
| 3 | 4 | 5 | • • • | 2 |
| • • | • • | • • | • • | • |
| • • | • • | • • | • • | • |
| $n$ | 1 | 2 | • • • | $n-1$ |

Рис. 3.

| 1 | 2 | 3 | • • • | $n$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| 2 | 3 | 4 | • • • | $n+1$ |
| 3 | 4 | 5 | • • • | $n+2$ |
| • • | • • | • • | • • | • |
| • • | • • | • • | • • | • |
| $n$ | $n+1$ | $n+2$ | • • • | $2n-1$ |

Рис. 4.

Таблицу на рисунке 2 получить легко, складывая таблицы, у которых единцы строят параллельно диагонали (рис. 4).

Перейдем теперь сразу к задаче в). Прежде всего заметим, что в таблице $n \times n$, получающейся из нулевой через $T$ шагов, суммы чисел в каждой строке и каждой столбце одинаковы и равны $T$. Вначале все эти суммы были равны нулю, а прибавляя по единице к $n$ числам, стоящим в разных строках и разных столбцах таблицы, мы изменяем все суммы одинаково —ровно на единицу каждого. Так что условие равенства суммы чисел по каждой строке и каждой столбце является необходимым присущением 3, указывающими преобразованиями получить нельзя.

Докажем, что условие равенства сумм по строкам и столбцам также достачно. При этом мы будем опираться на такую важную лемму. Пусть дана таблица $n \times n$, заполненная целыми неотрицательными числами, у которой сумма чисел по строкам и столбцам одна и та же (такие таблицы мы будем называть магтическими). Тогда, если эта таблица не нулевая, то в ней можно указать набор из $n$ чисел, находящихся в разных строках и разных столбцах таблицы, каждое из которых было отлично от нуля.

Из леммы сразу следует, что любую магическую таблицу можно получить из нулевой. В самом деле, пусть суммы по строкам и столбцам неотрицательными числами, у которой сумма чисел по строкам и столбцам одна и та же (такие таблицы мы будем называть магтическими). Тогда, если эта таблица не нулевая, то в ней можно указать набор из $n$ чисел, находящихся в разных строках и разных столбцах таблицы, каждое из которых было отлично от нуля.

Итак, осталось доказать лемму. Сформулируем ее так: если среди $n$ произвольных чисел магнической таблицы $n \times n$, находящихся в разных строках и разных столбцах, есть хотя бы один нуль, то эта таблица мы опять бы выделили набор из $n$ нулевых чисел (из разных строк и разных столбцов), снова вычисли бы по единице из каждой из этих чисел, и перешли бы к магической таблице с суммой $T-2$ по каждой строке и каждой столбцу, и т. д.; — через $T$ шагов мы получили бы таблицу с нулевыми суммами, т. е. нульевую таблицу. Двигаясь в обратном направлении, можно получить из нулевой таблицы исходную таблицу $M$.

Итак, осталось доказать лемму. Сформулируем ее так: если среди $n$ произвольных чисел магнической таблицы $n \times n$, находящихся в разных строках и разных столбцах, есть хотя бы один нуль, то эта таблица мы опять бы выделили набор из $n$ нулевых чисел (из разных строк и разных столбцов), снова вычисли бы по единице из каждой из этих чисел, и перешли бы к магической таблице с суммой $T-2$ по каждой строке и каждой столбцу, и т. д.; — через $T$ шагов мы получили бы таблицу с нулевыми суммами, т. е. нульевую таблицу. Двигаясь в обратном направлении, можно получить из нулевой таблицы исходную таблицу $M$.

Итак, осталось доказать лемму. Сформулируем ее так: если среди $n$ произвольных чисел магнической таблицы $n \times n$, находящихся в разных строках и разных столбцах, есть хотя бы один нуль, то эта таблица мы опять бы выделили набор из $n$ нулевых чисел (из разных строк и разных столбцов), снова вычисли бы по единице из каждой из этих чисел, и перешли бы к магической таблице с суммой $T-2$ по каждой строке и каждой столбцу, и т. д.; — через $T$ шагов мы получили бы таблицу с нулевыми суммами, т. е. нульевую таблицу. Двигаясь в обратном направлении, можно получить из нулевой таблицы исходную таблицу $M$.

31

где $x_1, x_2$ и $x_3$ — начальные координаты кубиков массами $m_1, m_2$ и $M$ относительно произвольного начала отчета.
Отсюда

$$l_0 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} l.$$

И. Слободецкий

Рис. 7.

Ф454. Если на первичную обмотку ненарруженого трансформатора подать направление $U_0 = 220$ В, то направление на вторичной обмотке будет $U_1 = 127$ В. Какое направление $U$ будет при $U_0 = 220$ В на направление $R = 10$ Ом, подключающий ко вторичной обмотке этого трансформатора? Активное сопротивление первичной обмотки трансформатора $r_1 = 2$ Ом, а вторичной $r_2 = 1$ Ом. Внутреннее сопротивление генератора мока прияmbель равный нулю.

Обозначим действующее значение Э. д. с. индекции, возникающей в первичной обмотке ненарруженного трансформатора, через $E_1$, а во вторичной обмотке — через $E_2$. Очевидно, что

$$\frac{E_1}{E_2} = \frac{n_1}{n_2} = k,$$

где $n_1$ — число витков в первичной обмотке, $n_2$ — во вторичной обмотке и $k = n_1/n_2$ — коэффициент трансформатии. По скольку в ненарружном трансформаторе

$$E_1 = U_0 \text{ и } E_2 = U_1,$$

то

$$k = \frac{E_1}{E_2} = \frac{U_0}{U_1} = \sqrt{3}.$$

Когда трансформатор нагружен, то есть ко вторичной обмотке подключено сопротивление $R$, по первичной обмотке идет ток

$$I_1 = \frac{U_0 - E_1'}{r_1},$$

а по вторичной обмотке—

$$I_2 = \frac{E_2'}{R + r_2}.$$

Здесь $E_1'$ и $E_2'$ — действующее значение Э. д. с. индекции в первичной и вторичной обмотках нагруженного трансформатора.

Коэффициент полезного действия трансформатора практически равен единице. Это означает, что мощность в первичной обмотке трансформатора равна мощности, передаваемой во вторичную цепь:

$$I_1 E_1' = I_2 E_2'.$$

Тогда

$$\frac{I_2}{I_1} = \frac{E_1'}{E_2'} = k.$$

Объединим уравнения (1), (2) и (3) в системе:

$$\begin{align*} I_1 &= \frac{U_0 - E_1'}{r_1} \\ I_2 &= \frac{E_2'}{R + r_2} \\ \frac{I_2}{I_1} &= k, \end{align*}$$

откуда

$$I_2 = \frac{k U_0}{r_1 + k^2 (R + r_2)},$$

и

$$U_2 = I_2 R = \frac{k U_0 R}{r_1 + k^2 (R + r_2)} \approx 110 \text{ B}.$$

В. Скороваров

32

Ф455. Потери мощности в линии электронередачи составляет 5% от мощности, получаемой потребителем. Как нужно изменить напряжение на входе линии и сопротивление потребителя для моно, чтобы при этой же мощности, получаемой потребителем, потреби в линии сизимь до 1%?

Мощность, получаемая потребителем, равна

$$P = I_0^2 R = \frac{U_0^2}{(R + r)^2} R,$$

где $I_0$ — ток в линии электронередачи, $r$ — сопротивление линии, $R$ — сопротивление потребителя и $U_0$ — напряжение на входе линии. Эта мощность по условию должна оставаться неизменной. Следовательно,

$$\frac{U_0^2}{(R + r)^2} R = \frac{U_1^2}{(R_1 + r)^2} R_1,$$

где $U_1$ — новое напряжение на входе линии и $R_1$ — новое сопротивление потребителя. Обозначим через $\alpha$ отношение мощности, теряемой в проводах, к мощности, получаемой потребителем. Тогда

$$\alpha_1 = \frac{I_0^2 r}{I_0^2 R} = \frac{r}{R} = 0.05, \quad \alpha_2 = \frac{r}{R_1} = 0.01.$$

Отсюда $R = \frac{r}{\alpha_1}$ и $R_1 = \frac{r}{\alpha_2}$.

Следовательно,

$$\frac{R_1}{R} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = 5,$$

$$\frac{U_1}{U_0} = \frac{R_1 + r}{R + r} \sqrt{\frac{R}{R_1}} =$$

$$= \frac{r \left(1 + \frac{1}{\alpha_1}\right)}{r \left(1 + \frac{1}{\alpha_2}\right)} \sqrt{\frac{\alpha_2}{\alpha_1}} = \frac{1 + \alpha_2}{1 + \alpha_1} \sqrt{\frac{\alpha_1}{\alpha_2}} \approx \sqrt{5}.$$

И. Слободецкий

Ф456. Какую минимальную скорость нужно сообиться на Земле космической корабле для моно, чтобы он попал на Солнце? Каким будет время полета корабля к Солнцу?

Представим себе, что с Земли запущен космический корабль, скорость которого немного меньше скорости обратного движения Земли. Траекторий движения корабля будет эллипис, в одном из фокусов которого — Солнце. Чем меньше начальная скорость корабля относительно Солнца, тем более вытянута его орбита. При некоторых значениях этой скорости корабль в своей движении коснется поверхности Солнца. Иными словами, высота перигеля орбиты корабля будет равну Солнца. Радиус Солнца примерно в 200 раз меньше радиуса орбиты Земли, так что малая получь эллиптической орбиты корабля, касающейся Солнца, много меньше большей полоси. Для оценки можно считать, что малая получь просто равна нулю. При таком предположении траектория движения корабля превращается в прямую, соединишую точку запуска корабля с Солнцем, то есть корабль попадает на Солнце, свободно падая на него. Следовательно, в начальной момент скорость корабля относительно Солнца должна быть равна нулю. Для того чтобы выполнялось это условие, корабль необходимо на Земле сообиться скорость, равную по абсцилотной величины обратной скорости Земли, но направленную в противоположную сторону.

Радиус орбиты Земли равен примерно $1,5 \cdot 10^{11}$ м, период обращения Земли вокруг Солнца $\sim 3,15 \cdot 10^{7}$ с. Следовательно, орбитальная скорость Земли равна

$$v = \frac{2\pi \cdot 1,5 \cdot 10^{11}}{3,15 \cdot 10^7} \approx 3 \cdot 10^4 \text{ м/с}.$$

Такую скорость нужно сообиться на Земле (рис. 8).

Для того чтобы время полета корабля к Солнцу, воспользоваться третьим законом Кеплера. Согласно этому за-

33

кону квадраты перiodов обращения корабля и Земли вокруг Солнца относится как кубы больших полуосей орбит корабля и Земли:

$$\frac{T^2_K}{T^2_3} = \frac{(R/2)^3}{R^3}$$

(R — радиус орбиты Земли). Время полета корабля к Солнцу составляет половину периода его обращения по эллиптической орбите, то есть

$$t = \frac{T_K}{2} = \frac{1}{4\sqrt{2}} T_3 \approx 5.6 \cdot 10^6 \text{ с.}$$

А. Дозоров

Ф457. Два плоских воздущих конденсатора с одинаковыми обкладками и имеют одинаковые заряды. Расстояние между обкладками у первоюго конденсатора вдвое больше, чем у второго. Как изменится энергия электрическое поля системы, если второй конденсатор оставить между обкладками первого Mak, как показано на рисунке 9, а и 6?

Энергия электрического поля заряженного конденсатора равна

$$W = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon E^2}{2} V,$$

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, $\vec{E}$ — направление поля и $V$ — объем, занимаемый электрическим полем.

Найдем начальное энергию $W_0$ электрического поля системы двух воздущих конденсаторов ($\varepsilon=1$). Поскольку заряды на конденсаторах одинаковы, направление поля в первом конденсаторе также же, как и во втором. Обозначим ее абсолотное значение через $E_0$. Пусть объем первого конденсатора равен $V_0$, а второго, соответственно, $V_0/2$. Тогда

$$W_0 = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} V_0 + \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \frac{V_0}{2} = \frac{3}{4} \varepsilon_0 E^2 V_0.$$

После того как конденсаторы будутставлены один в другой, абсолотные значения направностей электрических полей между пластинами станут другими. Для случая a) (рис. 9, a)

$$E_1 = E_3 = E_0, \quad E_2 = 2E_0.$$

Соответствие изменится и энергия системы:

$$W = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} (V_1 + V_3) + \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} V_2 = \frac{5}{4} \varepsilon_0 E^2 V_0.$$

Отсюда

$$\frac{W}{W_0} = \frac{5}{3}.$$

В случае б) (рис. 9, б)

$$E_1 = E_3 = E_0, \quad E_2 = 0.$$

Тогда

$$W = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} (V_1 + V_3) = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E^2 V_0,$$

и

$$\frac{W}{W_0} = \frac{1}{3}.$$

С. Козел