XIX Международная олимпиада по математике

51

ХIX Международная математическая олимпиада, проходившая в июле 1977 года в столице Югославии Белграде, была рекордной по числу участников — для участия в современных приближном командах из 21 страны: Австралии, Алжира, Англия, Бельгии, Болгарии, Венгрии, ГДР, Италии, Кубы, Монголии, Нидерландов, Польщи, Румынии, СССР, США, Финляндии, Франции, ФРГ, Чехословакии, Швеции и Югославии.

В команду Советского Союза вошли: Амиран Амброладзе из Тбилиси, Андрей Аузины из Ригги, Ярослав Виннишин из школь-интерната при КГУ, москвич Виктор Гальперин, Александр Кодрян из города Рыбница Молдавской ССР, Григорий Рыбников из Москвы, Дмитрий Флаас из школь-интерната при НГУ и Андрей Чурбанов из школь-интерната при МГУ. Команду сопровожделили В. Орлов (Академия педагогических наук СССР) и автор этих строк (руководитель команда).

Все школьники — участники современной — были размещены в Пиноерском городке на окранне Белграда, расположенном в тенистом парке, что было особенно приятно: стояла жаркая погода.

Торжественное открытие олимпиады состоялось биюля 1977 года в Пиноерском городке. Там же 6 и 7 июня были проведены оба тура олимпиады; в каждом туре предлагалось по три задачи.

10 июля прошел симпозум участников олимпиады. От советской команды с докладами выступили:
Амброладзе Амиран — «О представлении натуральных чисел в виде разности двух простых»,
Аузины Андрей — «Оптимизация работы двух носильников»,
Гальперин Виктор — «Коммутирующие многочлены»,
Флаас Дмитрий — «Об одной комнатной задаче теории групп».

В этот же день ученики, отмеченные специальными признами за оригинальное решение задачи, рассказывали участникам олимпиады свои решения. От советской команды выступил Виктор Гальперин, получивший специальный призназ за решение третьей задачи. Koординарами жюри были отмечены также оригинальные решения 6-й задачи Григория Рыбникова и Андрея Чурбанова и 2-й задачи Виктора Гальперина. Решения указаны задач, данное нашими участниками, будут опубликованы в специальном сборнике, изданном на сербско-хорватском и английском языках.

11 июля все участники олимпиады совершили экскурсию по Дунаю до одной из крупнейших в Европе ГЭС, построенной совместно Югославей и Румынии. Интересно отмечить, что корабли на подводных крыльях, на которых совершались экскурсия, и все 12 гидравлических турбин, установленных на ГЭС, имеют марку «Сделано в СССР».

2 июля состоялся симпозум научных руководителей команда под названием «Молодежь и математические олимпиады», на котором выступил советской команда А. Савин.

Ниже публикуем текст задач, предлагавшихся на олимпиаде.

Первый день

1. Внутри данного квадрата ABCD построены равносторонние треугольники ABK, BCL, CDM, DAN. Доказать, что середины четырех отрезков KL, LM, MN, NK вместе с серединами восемми отрезков AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN

52

Являются вершинами правильного деревадцатнуюльника (6 очков).

2. В конечной последовательности действительных чисел сумма любых семи последовательных членов отрицательна, а сумма любых одинаковых последовательных членов положительна. Найти наиболее число членов такой последовательности (6 очков).

3. Пусть $n$ — заданное натуральное число, большее 2, и пусть $V_n$ — множество чисел вида $1 + kn$, где $k = 1, 2, \ldots$. Число $m \in V_n$ будет называть неприводимым в $V_n$, если не существует чисел $p, q \in V_n$ таких, что $pq = m$. Доказать, что существует число $r \in V_n$, которое можно разложить на неприводимые в $V_n$ множители более, чем одним способом (7 очков).

Второй день

4. Пусть $a, b, A, B$ — данные действительные числа. Рассмотрим $f(x) = 1 - a \cos x - b \sin x - A \cos 2x - B \sin 2x$. Доказать, что если $f(x) \geq 0$ для любого действительного $x$, то $a^2 + b^2 \leq 2$, а $A^2 + B^2 \leq 1$ (6 очков).

5. Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа. При делении $a^2 + b^2$ на $a + b$ получается частное $q$ и остаток $r$. Найти все пары $(a, b)$, для которых $q^2 + r = 1977$ (7 очков).

6. Пусть $f(n)$ — функция, определяющая на множество натуральных чисел и принимающая значения в том же множестве. Доказать, что если для каждой $n$ выполняется неравенство $f(n+1) > f(f(n))$, то для каждой $n$ имеет место равенство $f(n) = n$ (8 очков).

12 июля состоялось торжественное закрытие олимпиады, на котором были оглашены именно победители. Первые premями нагружено 13 школьников, набравших от 40 до 34 очков: Г. Рыбников (СССР, 40 очков), К. Гриль (Австрия, 40), Р. Догерти (США, 40), М. Ларсен (США, 40) Д. Риккард (Англия, 40), Г. Мольдер (Нидерланды, 39), И.-Ж. Балаш (Венгрия, 36), Ю. Рахман (ФРГ, 36), Р. Дуади (Франция, 35), 3. Магяр