Рассудите их

24

Рис. 6.

Сечение поверхности (1) плоскостью $z = b - \text{гипербола}, a$ плоскостью $x = ly - \text{парабола} (b \neq 0, l \neq 0$ рис. 6).

«Математическое» называние поверхности — гиперболический параболод.

Пользованием (1), нетрудно показать, что один и тот же гиперболический параболод соответствует не одной паре скрещивающихся прямых!

Для любых прямых $\begin{cases} y = kx \\ z = c \end{cases}$ и $\begin{cases} y = -kx \\ z = -c \end{cases}$, у которых $k$ и $c$ находится в зависимости
$$p = \frac{c(1 + k^2)}{2k},$$

где $p$ — заданная константа, имеем один и тот же гиперболический параболид $xy = 2pz$. Поэтому в параллельных плоскостях $z = c, z = -c$ лежат две пары таких прямых. Если учеть, что $k = y/x$ и $c = z$, то подставляя их в (2), получим, что все прямые $m$ и $n$ образуют поверхности с уравнением $z(x^2 + y^2) = -2pxy$.

Плоскости $xOz$ и $yOz$ называются направляющими плоскостями поверхности $F$: «половина». Примолейных образующих параллельна плоскости $xOz$, а другая «половина» — плоскости $yOz$. В нашем случае эти плоскости взаимно перпендикулярны и гиперболический параболд называется равновобочный. В общем же случае эти плоскости образуют произвольный угол. Правда, в общем случае гиперболический параболд не получить объединением осей поворотов, однako конструкция, приведенная в п. 4, к ней применена. Только на прямых $O_1A$ и $O_2B$ нужно соединять такие точки $A_1$ и $B_1$, что $|O_1A| = \lambda |O_2B|$, где $\lambda \neq 1$.

Уражнение 3. Оси $x$ и $y$ перпендикулярны. Есть ли еще пары взаимно перпендикулярных осей?

Уражнение 4. Докажите, что прямая, не принадлежащая нашему множество, имеет с ним не более двух общих точки.

Приложение. Доказательство лемм

Заметим, что поворот с осью $l$ можно получить композицией двух симметричных относительно плоскостей, проходящих через прямую $l$. Дейстительно, пусть $R_l(A) = A_1$. Возьмем произвольную плоскость $\sigma \ni l$. Тогда $S_\sigma(A) = A'$. Проведем теперь плоскость $\pi$ через прямую $l$ и середину отрезка $[A'A_1]$. Легко сообщить, что $(A'A_1) \perp \pi$. Поэтому $S_\pi \circ S_\sigma(A) = A_1$. С другой стороны, $S_\pi \circ S_\sigma$ — поворот, так как это преобразование оставляет на месте только точки прямой $l$. Но поворот однозначно задается осью и образам произвольной, не лежащей на оси точки. Следовательно, $R_l = S_\pi \circ S_\sigma$.

1. Пусть оси $u$ и $v$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим плоскость $\pi$, содержащую эти прямые. Тогда $R_u$ и $R_v$ можно представить так: $R_u = S_\pi \circ S_\sigma, R_v = S_\sigma \circ S_\pi$. Отсюда $R_v \circ R_u = (S_\sigma \circ S_\pi \circ S_\pi \circ S_\sigma)$ = $S_\sigma \circ S_\sigma$, поскольку $S_\pi \circ S_\pi$ — тожественное преобразование. Но $\sigma_2 \ni O$ и $\sigma_1 \ni O$, поэтому прямая $\sigma_1 \cap \sigma_2$ проходит через точку $O$.

2. Пусть $m$ — прямая и $R_l(m) = m$. Если точка $A \in m$ и $A \notin l$, то $m$ проходит через $A$ и $R_l(A)$. Значит, $m$ принадлежит некоторой плоскости, перпендикулярной к $l$, и мы пришли к повороту плоскости, для которого утверждение очевидно.

3. Доказывается так же, как лемма 1, плоскobyчерез $u$ и $v$ можно проводить плоскость. Параллельные перености получятся, если $\sigma_1 \parallel \sigma_2$.

Рассудите их

Выполняя лабораторную работу, ученики получили на экран цветной спектр белого света, прошедшего через призму.

— Красота-то какая! — воскликнула Ира. — А если на месте экран оказется сетчатка глаза, то что тогда мы увидим? — спросила она. — Как что? — ответила Маша. — То же, что и экране. Отраженные цветные лучи от спектра на экран, так же как и световые лучи от различных объектов, проядя через хрусталик глаза, дают на сетчатке перевернуть изображение. А мозг человека «научился» переворочать изображения, возникшие на сетчатке. Поэтому мы видим все в реальном виде. Так что глаз будет видеть общие расположение цветных лучей в спектре белого света. — А я думаю, что мы видим спектр, «обратный» видимому на экран, — сказала Ира.

Как по-вашему, читатель, — кто из них прав?

В. Пармон