Bài toán, nảy sinh từ ý thích bất chợt của ba cô gái

27

Hạ bật $l$? Hóa ra $q$ như vậy tồn tại khi và chỉ khi 10 và $l$ là nguyên tố cùng nhau*). (Hãy cố gắng tự mình chứng minh nhận định này; “theo một hướng” rất dễ chứng minh “theo hướng khác” - không quá nhiều.)

Thật dễ dàng để khái quát hóa bài kiểm tra tính chia hết của chúng tôi cho các hệ thống số tùy ý.

Cho phép
$$n = \overline{a_1 a_2 \dots a_t}^{(r)},$$
đó là
$$n = a_t + ra_{t-1} + r^2 a_{t-2} + \dots + r^{t-1} a_1,$$
và đặt $q$ sao cho $rq - 1$ chia hết cho $l$. Hãy xây dựng từ $n$ số $n^* = \overline{a_t a_{t-1} \dots a_1}^{(q)}$. Khi đó, để $n$ chia hết cho $l$, điều cần và đủ để $l$ chia hết cho $n^*$.

Tuyên bố tổng quát này được chứng minh theo cách tương tự như tuyên bố trước.

Đáp số cho câu hỏi: khi nào thì $q$ bắt buộc tồn tại? — tương tự: $q$ tồn tại khi và chỉ nếu $r$ và $l$ nguyên tố cùng nhau.

Bài tập

1. Chứng minh rằng modulo nhỏ nhất $q$ sao cho $10q - 1$ chia hết cho $l$ bằng
   $$q = \begin{cases} k, если l = 10k - 1, \\ -k, если l = 10k + 1, \\ 3k + 1, если l = 10k + 3, \\ -3k + 1, если l = 10k - 3. \end{cases}$$
   *) Tức là khi ước chung lớn nhất của chúng là 1.

Bài toán, nảy sinh từ ý thích bất chợt của ba cô gái

Các cô gái đang đi dạo cùng bố. Cả sáu người đến gần một con sông nhỏ và muốn băng từ bờ này sang bờ kia. Họ chỉ có một chiếc thuyền không có người chèo, chỉ chở được $\delta$ người. Tất nhiên, việc vượt biển sẽ không khó thực hiện nếu các cô gái không tuyên bố, vì tính thất thường hoặc vui đùa, rằng không ai trong số họ đồng ý lên thuyền hoặc lên bờ với một hoặc hai bố của người khác mà không có bố của họ. Các cô gái tuy nhỏ nhưng không nhỏ lắm nên mỗi người có thể tự mình lái thuyền.

Vì vậy, thật bất ngờ, các điều kiện bổ sung cho việc vượt biển đã nảy sinh, nhưng để giải trí, các du khách quyết định cố gắng thực hiện chúng. Họ đã hành động như thế nào?

Cả đoàn an toàn sang bờ sông đối diện và ngồi riêng. Câu hỏi đặt ra: liệu có thể tổ chức việc vượt biển của bốn cặp đôi trong những điều kiện như nhau không? Rõ ràng là nếu các điều kiện dành cho các cô gái được đảm bảo, bốn cô gái cùng với bố của họ có thể vượt qua nếu có một hòn đảo giữa sông nơi họ có thể dừng lại và lên tiếng. Trong trường hợp này, cần có ít nhất mười lối băng qua cho lần băng qua cuối cùng.

Tìm cách để đến đó.

B. Kordemsky