Đường dẫn không giao nhau

60

Đường không cắt nhau

Hãy tưởng tượng rằng bạn cần tiếp tục các đường dẫn kết nối các cặp điểm $k$ và thực hiện việc này theo cách sao cho các đường dẫn không giao nhau. Điều này có thể được thực hiện cho $k$ nào? Dù bạn có cố gắng thế nào đi chăng nữa, nếu những điểm này nằm trên một mặt phẳng hoặc trên một mặt cầu thì bạn sẽ không thể làm gì hơn ngoài việc thử theo cách này. Đúng, khá khó để chứng minh điều này một cách chặt chẽ.

Đây là một cái tương tự khác bài toán - về nhà và giếng:

Hình 1.

Hình 2.

Bạn cần nối ba ngôi nhà và ba cái giếng sao cho mỗi ngôi nhà đều thông với nhau và các lối đi không giao nhau. Hóa ra điều này cũng không thể thực hiện được (Hình 1, 2).

Nhưng những gì không thể thực hiện được trên một mặt phẳng hoặc trên một mặt cầu thì có thể thực hiện được nếu các điểm nằm trên các bề mặt khác. Lấy ví dụ, một hình xuyến, cái mà các nhà toán học gọi là bề mặt của một chiếc bánh rán. Có thể kết nối thậm chí bảy điểm theo cặp trên một hình xuyến. Chân-

60

61

để quyết định về nó và bài toán về nhà và sàn. Hãy tự mình thực hiện bài toán thứ hai này và vấn đề đầu tiên sẽ được giải quyết… trên trang bìa đầu tiên. Dưới đây là các quy tắc để vẽ các đường dẫn trên trang bìa. Hình vuông màu xám là một cái lỗ có đặc tính ma thuật: nếu đường đi tiến đến một trong các cạnh của nó, thì sau đó nó sẽ tiếp tục ở phía đối diện của cái lỗ (Hình 3).

Tuy nhiên, hình xuyến có liên quan gì đến nó? Hãy giải thích điều này. Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng từ quan điểm của các đường đi, việc hình xuyến có “gọn gàng” hay không không quan trọng (Hình 4,5). Hiện nay

Hình 4.

Hình 5.

hãy tưởng tượng rằng hình vẽ trên trang đầu tiên của trang bìa không được thực hiện trên mặt phẳng màu xanh lam mà trên một quả cầu màu xanh lam (xem hình ở trang 60; một đường khác được vẽ trên đó, dọc theo vùng màu xanh lam; nó không được hiển thị trên trang bìa). Sau đó, một “hình vuông” màu xám được cắt ra khỏi hình cầu và các cạnh đối diện của lỗ tạo thành được dán lại với nhau. Điều này thực sự sẽ tạo ra một hình xuyến (Hình 6). Và trên hình xuyến này bảy điểm được kết nối rời rạc

Hình 6.

Hình 7. đường dẫn.

Hãy giải bài toán về bốn ngôi nhà và bốn cái giếng trên một hình xuyến.

Đưa ra các quy tắc tương tự để vẽ trên bánh quy cây (Hình 7).

G. Makarov