Olympic Toán

65

Olympic toàn Liên đoàn lần thứ XII
TRẺ EM HỌC SINH

N. Rozov, M. Smolyansky

Thế vận hội
trong toán học

Từ ngày 13 đến ngày 18 tháng 4, vòng chung kết Kỳ thi Olympic Toán học sinh toàn Liên đoàn lần thứ XII đã diễn ra tại Tashkent. 153 học sinh đã tham gia: những người chiến thắng trong các Cuộc thi Tài nguyên và những đứa trẻ đã nhận được bằng cấp I và II ở loại cuối cùng của Olympic Toàn Liên minh lần thứ XI. Phần cuối cùng cũng được chủ trì bởi đội học sinh trường dạy nghề (3 người) - đội đoạt giải Olympic các trường dạy nghề ở Leningrad - và đội chủ nhà Olympic - học sinh đến từ Tashkent (3 người).

Tổng cộng, 38 học sinh lớp tám, 63 học sinh lớp chín và 52 học sinh lớp mười đã tiến bộ ở loại cuối cùng.

Lễ khai mạc vòng chung kết diễn ra vào ngày 13 tháng 4 tại hội trường của Đoàn Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Uzbekistan. Chủ tịch ban tổ chức, Thứ trưởng Bộ Giáo dục Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Uzbekistan. V.V. Barylnikov chúc mừng những người tham gia Olympic loại cuối cùng đã bắt đầu tiến bộ. Chủ tịch ban giám khảo Olympic, học giả A. N. Kolmogorov và phó chủ tịch ban giám khảo Olympic

Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học UzSSR, Chủ tịch Hội đồng Tối cao Viện sĩ hàn lâm UzSSR S. Kh. Sirazhdinov, Bí thư Ban Chấp hành Trung ương Komsomol của Uzbekistan Sh. N. Makhmudova và các đồng chí khác.

Những người tham gia Olympic đặt hoa tại tượng đài V.I. Lênin và mộ Chiến sĩ vô danh. Các nhà toán học trẻ tham gia ngày dọn dẹp truyền thống của cộng sản.

Chặng cuối cùng của Olympic được tổ chức theo hai loại, diễn ra vào ngày 14 và 15 tháng 4.

Dưới đây chúng tôi trình bày các điều kiện bài toán trong môn toán được đưa ra tại Olympic toàn Liên đoàn lần thứ XII.

Nhiệm vụ

1. Chúng ta hãy biểu thị bằng $a_n$ một số nguyên gần với $\sqrt{n}$. Tìm số tiền

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_{1980}}.$$

2. Bên trong tứ giác $ABCD$ có một điểm $M$ sao cho $ABMD$ là hình bình hành. Chứng minh rằng nếu $CBM = CDM$ thì $ACD = BCM$.

3. Chứng minh rằng không có số tự nhiên $m$ thì số $1978^m$ - 1 chia hết cho $1000^m$ - 1.

4. Cho trước một tập hữu hạn điểm $K_0$ trên mặt phẳng. Nó được thêm vào tất cả các điểm có thể thu được bằng sự phản xạ đối xứng của một điểm của tập hợp này so với điểm khác. Tập kết quả được ký hiệu là $K_1$. Tương tự, từ tập hợp $K_1$ người ta nhận được $K_2$, từ $K_2$ - $K_3$, v.v.

a) Cho tập $K_0$ gồm hai điểm $A$ và $B$ cách nhau 1. Với giá trị nhỏ nhất $n$ trong tập $K_n$

66

có điểm nào cách điểm $A$ 1000 không?

6. Cho $K_0$ gồm ba đỉnh của một tam giác đều có diện tích 1. Tìm diện tích của đa giác lồi nhỏ nhất chứa các tập hợp $K_n$ (cho mỗi $n = 1, 2, \dots$).

lớp 9

1. Xem bài toán #1 cho lớp 8.
2. Xem bài toán #2 cho lớp 8.
3. Hai đống que diêm được đưa ra. Đầu tiên, trong một chồng có $m$ que diêm, trong chồng kia có $n$ que diêm, $m > n$. Hai người chơi lần lượt lấy các que diêm từ chồng bài. Đối với một người chơi, anh ta lấy từ một đống bất kỳ số lượng trận đấu nào (khác 0) là bội số của số trận đấu ở đống kia. Người chơi nào đạt được mũi nhọn cuối cùng ở một trong các cọc sẽ thắng.

a) Chứng minh rằng nếu $m > 2n$ thì người chơi đi nước đầu tiên có thể đảm bảo chiến thắng.

6. Với α thì tuyên bố nào là đúng: nếu $m > \alpha n$, thì người chơi thực hiện nước đi đầu tiên có thể đảm bảo chiến thắng?

4. Chứng minh rằng tồn tại một dãy giới hạn vô hạn $\{x_n\}$ sao cho với mọi $m$ và $k$ phân biệt bất đẳng thức sau đây đúng:

$$|x_m - x_k| \geq \frac{1}{|m - k|}.$$

lớp 10

1. Hãy để $f(x) = x^3 - x + 1$. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m > 1$ thì các số $m, f(m), f(f(m)), f(f(f(m))), \dots$ đều được ký hiệu theo cặp.

2. Chứng minh rằng tồn tại một số $A$ sao cho có thể nội tiếp ít nhất 1978 ô vuông không tắc nghẽn theo cặp trong đồ thị của hàm $y = A \sin x$. (Một hình vuông được gọi là nội tiếp nếu tất cả các đỉnh của nó đều thuộc đồ thị.)

3. Giả sử $K_0$ là tập hợp bốn điểm là các đỉnh của một tam giác đều có thể tích đơn vị. Đối với tập hợp $K_0$ tất cả các điểm có thể được thêm vào có thể thu được bằng cách phản chiếu đối xứng một điểm của tập hợp này so với điểm khác. Tập kết quả được ký hiệu là $K_1$. Tương tự, từ tập $K_1$ ta thu được các tập $K_2$, từ $K_2 - K_3$, v.v.

a) Xét đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các điểm của tập hợp $K_1$. Đa giác này có bao nhiêu và loại mặt nào?

6. Thể tích của đa giác này là bao nhiêu?

b) Tìm thể tích của đa giác lồi nhỏ nhất chứa các tập hợp $K_n$ (cho mỗi $n = 2, 3, \dots$).

4. Xem bài toán số 4 cho lớp 9.

Ngày thứ hai

lớp 8

5. Máy in các cặp số tự nhiên lên thẻ. Các máy hoạt động như sau. Máy đầu tiên đọc thẻ $(a; b)$ sẽ phát hành thẻ mới $(a + 1; b + 1)$; thứ hai, đọc thẻ $(a; b)$, phát thẻ $(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$ (chỉ hoạt động khi $a$ và $b$ chẵn); máy thứ ba, sử dụng hai thẻ $(a; b)$ và $(b; c)$, phát hành thẻ $(a; c)$.

Giả sử ban đầu có một thẻ có một cặp số (5; 19). Có thể sử dụng máy theo thứ tự bất kỳ để lấy thẻ a) (1; 50) không? 6) (1; 100)?

b) Giả sử ban đầu có một thẻ $(a; b)$, $a < b$ và chúng ta muốn lấy thẻ (1; n). Điều này có thể được thực hiện ở mức $n$ nào?

6. Một $n$-giác có diện tích $S$ được nội tiếp trong một đường tròn bán kính $R$. Một điểm được đặt ở mỗi bên của $n$-gon. Chứng minh rằng chu vi của một $n$-giác có các đỉnh ở các điểm lệch nhau ít nhất là 2$S/R$.

7. Quân cờ đứng ở góc bàn cờ có kích thước $n \times n$ ô. Mỗi người trong số hai người chơi lần lượt di chuyển đến một ô liền kề (có cấu trúc chung với ô có chip). Không được phép lần thứ hai trên sân mà chip đã chạm vào. Người không có nơi nào để đi sẽ thua cuộc.

a) Chứng minh rằng nếu $n$ là số chẵn thì người bắt đầu trò chơi sẽ thắng, và nếu $n$ là số lẻ thì người thứ hai thắng.

6. Ai sẽ thắng nếu ban đầu con chip không nằm ở ô góc mà nằm ở ô liền kề?

8. Trên một mặt phẳng cho trước có các đoạn thẳng rời nhau, không có hai đoạn nào thẳng hàng. Chúng tôi muốn kiểm tra thêm một số đoạn nối các đầu của các đoạn này để tất cả các đoạn này cùng nhau tạo thành một đường gãy không tự giao nhau. Điều này có thể luôn luôn được thực hiện?

lớp 9

5. Xem bài toán số 5 cho lớp 8.

6. Xem bài toán số 6 cho lớp 8.

7. Các số $x_1, x_2, \dots, x_n$ lấy đoạn $[a; b]$, trong đó $0 < a < b$. Chứng minh bất đẳng thức $(x_1 + x_2 + \dots + x_n) \times \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}\right) \leq \frac{(a + b)^2}{4ab} n^2$.

8. Cho một số nguyên tố $p > 3$. Xét trên mặt phẳng tọa độ một tập hợp $M$ bao gồm các điểm có tọa độ nguyên $(x; y)$ sao cho $0 \leq x < p$, $0 \leq y < p$. Chứng minh rằng có thể đánh dấu $p$ các điểm phân biệt của tập hợp $M$ sao cho không có bốn điểm nào thuộc các đỉnh của hình bình hành và không có ba điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng.

lớp 10
5. Xem bài toán số 5 cho lớp 8.
6. Chứng minh rằng mọi tứ diện đều có hai mặt phẳng sao cho tỉ số diện tích hình chiếu của tứ diện lên các mặt phẳng này không nhỏ hơn $\sqrt{2}$.
7. Hãy xem xét $n$ số $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Hãy đặt
$$b_k = \frac{a_1 + \dots + a_k}{k} \quad (\text{для } k = 1, 2, \dots),$$
$$C = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + \dots + (a_n - b_n)^2,$$
$$D = (a_1 - b_n)^2 + (a_2 - b_n)^2 + \dots + (a_n - b_n)^2.$$
Chứng minh bất đẳng thức $C \leqslant D \leqslant 2C$.
8. Hãy xem xét dãy số $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^n$. Mỗi người trong số họ được đưa đến hình thức
$$x_n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6},$$
trong đó $q_n, r_n, s_n, t_n$ là số nguyên. Tìm giới hạn

$$\lim_{n \to \infty} \frac{r_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{q_n}.$$
9. Xem bài toán số 8 cho lớp 9.

Bạn có thể xem bảng bên dưới để xem những người tham gia đã nắm vững các nhiệm vụ này như thế nào. Thật không may, một số bài toán hóa ra lại khá khó khăn. Như vậy, chỉ có 2 học sinh hoàn thành ghi nhớ số 2, 1 học sinh hoàn thành nhiệm vụ số 3 và 4 học sinh hoàn thành nhiệm vụ số 8.

Không có học sinh lớp 9 nào giải được bài toán Số 4 và chỉ có hai người giải được hoàn toàn bài toán Số 36.

Trong số học sinh lớp 9 bài toán Câu 3b và 4 chỉ giải được hoàn toàn

Kỷ niệm với các Bằng cấp 1 (từ trái sang phải): Y. Tkachenko, A. Balinsky, A. Razborov, A. Borichev.

69

Ở giai đoạn chính thức của Olympic toàn Liên đoàn lần thứ XII, 11 bằng cấp một đã được trao (4 bằng cấp 8 lớp, 4 bằng cấp 9 lớp và 3 bằng cấp 10 lớp), 32 bằng cấp hai (11 bằng cấp 8, 10 bằng cấp 9 lớp và 11 bằng cấp 10 lớp) và 24 bằng cấp ba (4 - cấp 8, 9 - cấp 9, 11 - cấp 10). lớp); Ngoài ra, 80 người tham gia đã nhận được những đánh giá miễn phí.

Chúng tôi công bố tên của những người chiến thắng trên trang. 82.

Đặc biệt ghi nhận thành tích xuất sắc của học sinh thành phố Angarsk tại Olympic, ban giám khảo đã trao cho sở giáo dục công lập thành phố Angarsk một giải thưởng đặc biệt.

Nhiều người tham gia đã nhận được các giải thưởng đặc biệt do nhiều tổ chức, doanh nghiệp của Uzbekistan tổ chức.

Giải đặc biệt của tạp chí «Kvant» đã được trao cho học sinh lớp 8 Badim Sintsov (làng Komsomolsky, vùng Tyumen).

Để thành công trong Thế vận hội, đăng ký hàng năm cho tạp chí «Kvant» năm 1979 đã có:

học sinh lớp 8:

1. Bratsenko Svetlana (vùng Krasnodar);

2. Luchko Yury (vùng Grodno);

3. Faysman Alexander (Tashkent); học sinh lớp 9:

4. Abduaniev Abduvali (vùng Tashkent);

5. Irmatov Anyar (Namangan);

6. Sergey Sherbkov (Leningrad).

Olympic năm nay được tổ chức rất tốt. Các chàng trai đi du ngoạn, đến rạp hát và tham gia vào một subbotnik của cộng sản. Cần lưu ý thêm công việc tổ chức Olympic do những người làm công tác giáo dục và toán học có tổ chức ở Uzbekistan thực hiện. Vì thành tích xuất sắc của Thế vận hội, ban biên tập tạp chí đã trao tặng một khoản đăng ký hàng năm cho «Kvant», chuyển cho Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học UzSSR, Viện sĩ S. Kh. Sirazhdinov, Trường Nội trú Tài nguyên Tashkent dành cho các nhà toán học và vật lý trẻ (giám đốc S. A. Atametov), ​​​​đã lưu ý và chuyển cho Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học, A. B. Voronov:

Tổng hợp kết quả của Olympic, tôi muốn tập trung vào một số vấn đề cần giải quyết. Đại diện các trường dạy nghề khẳng định