Bài toán độc giả của chúng tôi

31

Những định nghĩa hay khác

Tất nhiên, định nghĩa 5 không phải là định nghĩa duy nhất. Định nghĩa 4 cung cấp một lựa chọn tương đương. Chúng ta hãy cho thêm một vài.

Về giới hạn 6. Đặt $\Delta_n$ là một đường tròn ngoại tiếp $n$-gon, $Q_n$ chu vi của nó; chu vi được gọi là $\lim_{n \to \infty} Q_n$.

Trình tự $(Q_n)$ tất nhiên là giảm dần.

Về giới hạn 7. Độ dài của hình tròn là số $\lim_{n \to \infty} P_2^n$: giả sử dãy chu vi của các hình $2^n$-giác nội tiếp đều ($\Pi_{2^2}$ là hình vuông nội tiếp, $\Pi_{2^3}$ là hình bát giác nội tiếp đều, v.v.).

Trong trường hợp này, sự đơn điệu của chuỗi tham số là rất rõ ràng; tuy nhiên, bản thân định nghĩa này khá giả tạo - không rõ $2^n$ đến từ đâu, liệu có đạt được giới hạn tương tự cho $\Pi_{3^n}$ hay không.

Đứng ngoài

Về giới hạn 8. Chu vi của một hình tròn là một số lớn hơn chu vi của một đa giác nội tiếp bất kỳ và nhỏ hơn chu vi của một đa giác ngoại tiếp bất kỳ.

Đây là một định nghĩa rất tốt. Thật không may, bằng chứng về sự tồn tại của một con số như vậy lại dựa trên một định lý không có trong môn toán ở trường. Tuy nhiên, giả sử rằng nó tồn tại thì nó là điều duy nhất có thể được chứng minh.

Định nghĩa chỉ là bước đầu tiên. Tiếp theo, chúng ta cần xem xét các cách tính số $n$, các thuộc tính của nó - nhưng vấn đề này cần được thảo luận riêng.

Bạn có thể đọc rất nhiều điều thú vị về con số $n$ trong cuốn sách của F. Campan “Lịch sử của con số $n$” (M., “Nauka”, 1971).

Bài toán
của chúng tôi
độc giả

1. Chứng minh rằng số $246^{133}77 + 77^{246}133 + 133^{77}246$ chia hết cho 190.

2. Tìm hai chữ số cuối của số $2^{2000}$.
   A. Pulyaev
   (Donetsk)

3. Chứng minh rằng số $5^{34}m - 2^{24}n + 2$ chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên $m$ và $n$.
   S. Mayzus
   (Zaporozh)

4. Chứng minh rằng với $n \geqslant 2$, $l=0, 1, \dots, 2n-2$

$$\sum_{k=1}^{2n} (-1)^k \sin^2 \frac{k\pi}{2n+1} \times \cos^l \frac{k\pi}{2n+1} = 0.$$

M. Levin
(Tallin)

5. Diện tích của tam giác là $S$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài a) cạnh dài nhất;
   b) mặt giữa.
   A. Halamaier
   (Moscow)

6. Cho một hình tròn và các điểm $A$ và $B$ trên đó. Trên dây $AB$, làm cơ sở, một tam giác đều được dựng với đỉnh của nó nằm trên cung lớn hơn trong hai cung chắn với cạnh này, v.v. Chứng minh rằng các tam giác đều này ngày càng có hình dạng gần giống với một tam giác đều.

E. Yasinovy
(Kuibyshev)

7. Giải phương trình

$$\frac{1}{x+y+z} = 0, 0xyz.$$

I. Mikhalkovich
(Vùng Minsk)