Được trang bị phương pháp tọa độ

42

Câu hỏi sử dụng phương pháp tọa độ

Việc áp dụng phương pháp tọa độ cho lời giải hình học bài toán trong «Kvant» đã được viết *. Các khía cạnh mới của chủ đề quan trọng này hiện đã được đề cập đến.

Bài toán 1 (MIEM, 1977). Với phương pháp mặt phẳng tọa độ mới, chúng ta đi đến nút α có tâm tại điểm M, điểm A (1; 2) đến A₁ (6; 5) và B (1; 4) đến B₁ (4; 5). Tìm ảnh của điểm C (1; 3). Tìm hình ảnh của một điểm khác (theo ý của bạn). Tìm các giá trị của el α và tọa độ điểm M.

Lời giải. Hãy đánh dấu điểm A trên mặt phẳng tọa độ; A₁, B, B₁ và C (Hình 1). Để xác định tọa độ (x; y) của điểm M, chúng ta sử dụng thực tế rằng phép quay là độ dịch chuyển và do đó |MA|²=|MA₁|² và |MB|²=|MB₁|², tức là.

$$\int (x-1)^2 + (y-2)^2 = (x-6)^2 + (y-5)^2$$
$$\int (x-1)^2 + (y-4)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2.$$

Giải hệ này, ta tìm được x=2 và y=6.

Hãy để $R_M^\alpha(C) = C_1$. Hãy xác định tọa độ $(x_1; y_1)$ của điểm C₁. Dễ dàng nhận thấy Điểm C là trung điểm của [AB], và do đó ảnh của nó - điểm C₁ - là trung điểm của [A₁B₁]. Tính đến điều này, chúng ta thấy điểm C₁ có tọa độ (5; 5).

Bây giờ hãy xác định độ lớn của góc α. Nhận thấy hoành độ của các điểm A và B

*) Số 11 cho năm 1977

Hình 1.

43

Bây giờ chúng ta cần tìm ra lời giải thu được nào là tọa độ của điểm $D_1$. Nhìn vào bức vẽ, người đọc sẽ thấy ngay rằng lời giải đầu tiên là chính xác và cái thứ hai là cái được xây dựng. Tuy nhiên, trong kỳ thi, cần phải có sự biện minh chặt chẽ để chọn đúng lời giải. Trước khi đưa ra lời giải thích này, chúng ta hãy làm rõ ý nghĩa hình học của kết quả lời giải và giải thích tại sao lại có hai trong số chúng.

Phương trình đầu tiên của hệ (1) là phương trình của đường tròn có tâm tại điểm $M$ và bán kính bằng $|MD|$ (Hình 2). Phương trình thứ hai của hệ (1) là phương trình của đường tròn có tâm tại điểm $A_1$ và bán kính bằng $|AD|$. Phương trình thứ hai cắt phương trình thứ nhất tại hai điểm $-D_1'(7; 7)$ và $D_1''(\frac{101}{17}; \frac{47}{17})$, một trong số đó là ảnh của điểm $D$. (Nếu điểm $D$ thuộc hướng [MA] thì phương trình thứ hai sẽ chạm vào phương trình thứ nhất và chúng ta sẽ thu được một lời giải của hệ (1), đây sẽ là phương trình mong muốn.)

Rõ ràng là $\triangle DMD_1'$ và $\triangle DMD_1''$ là bằng nhau và chỉ có một trong các góc $\overrightarrow{DMD_1'}$, $\overrightarrow{DMD_1''}$ bằng $\alpha$ (ở chúng ta bài toán $\alpha = \frac{\pi}{2}$). Hãy xác định cái nào. Hãy xem xét $\triangle DMD_1'$. Hãy cùng tìm $|DD_1'|$:

$$|DD_1'| = \sqrt{(7-3)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{52}.$$
Đặt $F$ ở giữa $[DD_1']$, sau đó $|DF| = \frac{1}{2}\sqrt{52}.$ TỪ $\triangle DMF$:

$$\sin \overrightarrow{DMF} = \frac{|DF|}{|DM|} = \frac{\sqrt{52}}{2\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$\overrightarrow{DMF} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \overrightarrow{DMD_1'} = \frac{\pi}{2}.$$

Mất điện. Trong số hai điểm thu được khi tìm ảnh của một điểm nhất định $N(a; b)$, việc xác minh điểm có tọa độ “đơn giản hơn” là điều đương nhiên (điều này giúp đơn giản hóa việc tính toán). Nếu bạn phát hiện ra rằng điểm được chọn để xác minh mang lại lời giải bắt buộc thì đó chính là hình ảnh của điểm $N$. Nếu không thì đương nhiên ảnh của điểm là điểm thứ hai.

Bài toán 2 (MIPT, 1977). Có một hình vuông $ABCD$ trên mặt phẳng tọa độ. Các đỉnh $A$ và $B$ của hình vuông nằm trên đồ thị của hàm $y=x^2$, còn các đỉnh $C$ và $D$ nằm trên đồ thị của hàm $y=x-4$. Hãy xác định phạm vi của hình vuông.

Lời giải. Mặt phẳng tọa độ (Hình 3) hiển thị đồ thị của hàm $y=x^2$, $y=x-4$ và hình vuông $ABCD$, nằm như được chỉ ra trong điều kiện. Vì đường thẳng $y=x-4$ vuông góc với đường thẳng $y=-x$ nên [AC] || (Ồ) và [BD] || (Oy) Đặt $|AC|=l$ và $A(x_1; y_1)$, thì:

Рис. 2.
Рис. 3.

45

Và cuối cùng, từ (3) chúng ta tìm thấy $|AP| = \sqrt{\frac{17}{16} - \frac{9}{170}} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{1373}{85}}$.

Quét. Không cần thiết phải cung cấp bản vẽ trên “bản sao hoàn thiện” lời giải của bài toán này. Tuy nhiên, việc vẽ một bản vẽ thô sẽ rất hữu ích. Để rõ ràng hơn, chúng tôi trình bày ở đây cách dựng một phần của khối này bằng mặt phẳng $\alpha$ (Hình 4). Chúng ta tìm điểm $S$ tại đó đường $OB$ thuộc $\alpha$ cắt cạnh $KK_1$. [SA] là đoạn mà $\alpha$ giao với mặt $KK_1L_1L$. Rõ ràng là $\alpha$ cắt mặt $NN_1M_1M$ dọc theo đoạn $BT$ song song với [AS]. $Q = (BT) \cap (MN)$; rõ ràng là $Q \in \alpha$ và $Q \in (KLM)$, $(AQ) = \alpha \cap (KLM)$; chúng tôi tìm thấy $U = (AQ) \cap (LM)$. Bây giờ việc xây dựng một phần không gây ra bất kỳ khó khăn nào.

Nhiệm vụ 4 (MSU, cơ chế, 1977). Đáy của tham số SABC là một tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh là $4\sqrt{2}$. Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 2. Tên gọi giữa hai đường thẳng cắt nhau, một đường đi qua điểm $S$ và giữa cạnh $BC$, đường còn lại đi qua điểm $C$ và giữa cạnh $AB$.

Lời giải*). SABC (Hình 5)

*) Trong “Kvanita”, 1978, số 2, tr. 59-60 hai lời giải trong số bài toán này được đặt ra: hình học và vectơ vô hạn.

Đây là một kim tự tháp được đưa ra trong các điều kiện. Điểm $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $AB$. Hãy giới thiệu một hệ tọa độ, như trong Hình *), và xác định tọa độ của các đỉnh của hình chóp và các điểm $E$ và $F$: $A (0; 4\sqrt{2}; 0)$; $B (2\sqrt{6}; 2\sqrt{2}; 0)$ (trục hoành của điểm $B$ được tính là chiều cao của một tam giác đều từ sự tương ứng $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, trong đó $h$ là chiều cao và $a$ là cạnh của tam giác); $C (0; 0; 0)$; $S (0; 0; 2)$; $E (\sqrt{6}; \sqrt{2}; 0)$ và $F(\sqrt{6}; 3\sqrt{2}; 0)$. Góc giữa các đường giao nhau được tìm bằng phép nhân vô hướng của vectơ $\vec{SE}$ và $\vec{CF}$ (xem “Kvanite”, 1978, Số 2, trang 60); nó bằng $\frac{\pi}{4}$.

Để xác định khoảng cách giữa các đường giao nhau, vẽ tại $(ABC)$ qua điểm $E$ một đường thẳng song song với $(CF)$; $G$ là điểm mà đường này giao với cạnh $AB$. Rõ ràng tọa độ $G$ sẽ là $\left(\frac{3\sqrt{6}}{2}; \frac{5\sqrt{2}}{2}; 0\right)$ (bạn tự kiểm tra nhé).

Các đường giao nhau $SE$ và $EG$ (hoặc giống nhau, ba điểm: $S, E, G$) xác định một mặt phẳng nhất định.

$ax + by + cz + d = 0$, (6) song song với đường thẳng $CF$ (kể từ $(EG) \parallel (CF)$) và chứa $(SE)$. Do đó, khoảng cách từ điểm bất kỳ $(CF)$ đến $(SEG)$ bằng khoảng cách giữa các đường giao nhau $SE$ và $CF$.

Bây giờ chúng ta hãy xác định giá trị của các hệ số $a, b, c$ và $d$ trong phương trình (6).

*) Ở đây bản vẽ rất đơn giản và nên trình bày nó ở dạng “phiên bản sạch” lời giải.