Về lực ma sát

48

L. Bakanina

Về lực ma sát

Nhiều học sinh vào đại học thường gặp khó khăn với lời giải bài toán, trong đó lực ma sát tác dụng.

Chúng ta hãy nhớ lại những đặc điểm chính của cái gọi là lực ma sát khô - lực ma sát giữa hai vật rắn. Các lực này luôn phát sinh khi các vật thể tiếp xúc trực tiếp, hướng dọc theo bề mặt tiếp xúc và tác dụng lên từng vật thể tiếp xúc, và chúng hoạt động theo cách cản trở chuyển động của vật này so với vật khác - nếu đây là lực ma sát trượt, hoặc để cản trở sự xuất hiện của chuyển động này - nếu chúng ta đang nói về lực ma sát dọc theo vật thể.

Giá trị tuyệt đối của lực ma sát trượt $\vec{F}_{\text{тр. ск.}}$ phụ thuộc vào loại bề mặt cọ xát và lực $\vec{N}$ của áp suất pháp tuyến của vật này lên vật khác:

$$\left| \vec{F}_{\text{тр. ск.}} \right| = \mu \left| \vec{N} \right|,$$

trong đó $\mu$ là hệ số ma sát.

Lực ma sát tĩnh $\vec{F}_{\text{тр. п.}}$ luôn được cân bằng bởi tất cả các lực khác tác dụng lên cơ thể dọc theo bề mặt tiếp xúc. Giá trị tuyệt đối của nó có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ 0 đến một giá trị tối đa nào đó $\left| \vec{F}_{\text{тр. п. max}} \right|$, giá trị này thường được coi là bằng

$$\left| \vec{F}_{\text{тр. ск.}} \right| = 0 \leq \left| \vec{F}_{\text{тр. п.}} \right| \leq \left| \vec{F}_{\text{тр. ск.}} \right|.$$

Với lời giải bài toán, trước hết, cần phải hiểu loại lực ma sát nào—đứng yên hay trượt—mà chúng ta đang xử lý. Chúng ta hãy xem xét một vài bài toán cụ thể.

Bài toán 1. Hai thanh khối lượng $M_1 = 7$ kk và $M_2 = 10$ kk, ​​​​nối một nửa, nằm trên một bàn ngang. Một nim khác, gắn vào một khối có khối lượng $M_1$, được ném lên một khối gắn trên cạnh bàn và một tải trọng có khối lượng $m = 1$ kk được treo vào khối đó (Hình 1). Hệ số ma sát giữa thanh và bàn là $\mu = 0,1$. Xác định độ bền hai bên và lực ma sát tác dụng lên mỗi thanh.

Hình 1.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm hiểu xem các thanh có chuyển động hay không. Chúng có thể bắt đầu chuyển động dưới tác dụng của lực căng $\vec{T}_1$ của sợi bên phải và nó, ở giá trị tuyệt đối, không thể vượt quá trọng lực của một tải trọng có khối lượng $m$:

$$\left| \vec{T}_1 \right| \leq m \left| \vec{g} \right| = 10 \text{ H.}$$

Giá trị lớn nhất của lực ma sát tĩnh cho cả hai thanh

$$\left| \vec{F}_{\text{тр. п. max}} \right| = \mu \left( M_1 + M_2 \right) \left| \vec{g} \right| = 17 \text{ H.}$$

Vì $\left| \vec{T}_1 \right| < \left| \vec{F}_{\text{тр. п. max}} \right|$ nên các thanh đứng yên. Rõ ràng là một vật có khối lượng $m$ cũng đang đứng yên; kể từ đây,

$$\left| \vec{T}_1 \right| = m \left| \vec{g} \right| = 10 \text{ H.}$$

Bây giờ hãy xem xét riêng các thanh có khối lượng $M_1$ và $M_2$. Khối bên phải chịu tác dụng của lực căng chỉ $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$ và lực ma sát $\vec{F}_{\text{тр. 1}}$ (Hình 2)*.

*) Về mặt được quan tâm, chỉ những lực tạo ra các quá trình nằm ngang khác 0.

49

Hình 2.

Giá trị lực ma sát tối đa
$$|\vec{F}_{\text{тр. 1 max}}| = \mu M_1 |\vec{g}| = 7 \text{ H} < |\vec{T}_1| = 10 \text{ H},$$
Điều này có nghĩa là chỉ riêng lực ma sát không thể cân bằng khối. Ngay khi đạt giá trị cực đại, sợi dây thứ hai sẽ giãn ra—lực căng $\vec{T}_2$ sẽ xuất hiện.

Khối đầu tiên sẽ kết thúc nếu
$$|\vec{T}_1| = |\vec{F}_{\text{тр. 1}}| + |\vec{T}_2|,$$
Ở đâu
$$|\vec{F}_{\text{тр. 1}}| = |\vec{F}_{\text{тр. 1 max}}| = 7 \text{ H}.$$
Từ đây
$$|\vec{T}_2| = |\vec{T}_1| - |\vec{F}_{\text{тр. 1 max}}| = 3 \text{ H}.$$
Hai lực tác dụng lên khối thứ hai: lực căng của sợi chỉ $\vec{T}_2$ và lực ma sát $\vec{F}_{\text{тр. 2}}$ (Hình 3). Từ
$$|\vec{F}_{\text{тр. 2 max}}| = \mu M_2 |\vec{g}| = 10 \text{ H} > |\vec{T}_2| = 3 \text{ H},$$
lực ma sát $\vec{F}_{\text{тр. 2}}$ có thể cân bằng lực $\vec{T}_2$:
$$|\vec{F}_{\text{тр. 2}}| = |\vec{T}_2| = 3 \text{ H}.$$
Bài toán 2. Khối nằm trên bảng. Chúng tôi nâng bảng lên một cạnh. Giá trị tuyệt đối của lực ma sát tác dụng lên khối phụ thuộc như thế nào vào diện tích bề mặt của tấm ván $\alpha$ (Hình 4)? Hệ số ma sát giữa

giữa một khối và một tấm ván $\mu$, khối lượng của khối $m$.

Ở các góc nghiêng đủ nhỏ, khối sẽ kết thúc trên bảng.

Trong trường hợp này, lực ma sát tĩnh $\vec{F}_{\text{тр. п.}}$ được cân bằng bởi lực $\vec{F}$ - thành phần lực hấp dẫn của khối, hướng dọc theo mặt phẳng nghiêng:

Hình 4.

$$|\vec{F}_{\text{тр. п.}}| = |\vec{F}| = m |\vec{g}| \sin \alpha.$$
Khi góc $\alpha$ tăng, lực ma sát tĩnh tăng và ở một góc nhất định $\alpha_0$ nó đạt giá trị cực đại
$$|\vec{F}_{\text{тр. п. max}}| = |\vec{F}_{\text{тр. ск.}}| = \mu |\vec{N}|$$
m |$\vec{g}| \sin \alpha_0 = \mu m |\vec{g}| \cos \alpha_0.$
Từ đây
$$tg \alpha_0 = \mu, \text{ и } |\vec{F}_{\text{тр. п. max}}| = m |\vec{g}| \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$
Khi góc tăng thêm $\alpha$ vật trượt dọc theo tấm ván và lực ma sát là lực ma sát trượt:
$$|\vec{F}_{\text{тр. ск.}}| = \mu |\vec{N}| = \mu m |\vec{g}| \cos \alpha.$$
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc giá trị tuyệt đối của lực ma sát vào góc nghiêng

Hình 5.

bảng $\alpha$ được thể hiện trên Hình 5: đến góc $\alpha_0$ lực ma sát quay trở lại theo định luật sin, và tiếp tục tiêu diệt theo định luật cosin.

50

Hình 6.

Nhiệm vụ 3. Một khối hình chữ nhật có kích thước như hình 6 được dùng dây thừng đè đều dọc theo mặt phẳng ngang; góc nghiêng của thành phần $\alpha$ có thể được thay đổi. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng là $\mu$. Tại giá trị nào $\alpha_0$ khối bắt đầu tăng lên?

Hãy xem xét tất cả các lực tác dụng lên khối. Đó là lực căng dây $\vec{T}$, lực hấp dẫn $\vec{mg}$, phản lực tựa $\vec{N}$ (có giá trị tuyệt đối bằng lực ép thông thường) và lực trượt $\vec{F}_{\text{тр. ск.}}$ (vì khối đang chuyển động). Ở góc nghiêng $\alpha_0$, khi khối bắt đầu nâng lên, màu xanh lam

Hình 7.

ly $\vec{N}$ và $\vec{F}_{\text{тр. ск.}}$ đi qua điểm $A$ (Hình 7).

Vì khối chuyển động đều và thẳng, nên tổng các lực tác dụng lên nó và tổng mômen của các lực này đối với bất kỳ trục nào phải bằng 0. Do đó, tổng hình chiếu của tất cả các lực lên trục $X$ bằng 0:

$$\left| \vec{F}_{\text{тр. ск.}} \right| - \left| \vec{T} \right| \cos \alpha_0 = 0$$

và tổng mô men của các lực đối với trọng tâm $C$:

$$\left| \vec{T} \right| \sin \alpha_0 \cdot \frac{b}{2} - \left| \vec{F}_{\text{тр. ск.}} \right| \frac{a}{2} - \left| \vec{N} \right| \frac{b}{2} = 0.$$

Từ hai phương trình này, xét đến thực tế là $\left| \vec{F}_{\text{тр. ск.}} \right| = \mu \left| \vec{N} \right|$, chúng ta thu được

$$tg \alpha_0 = \frac{a}{b} + \frac{1}{\mu},$$

$$\alpha_0 = \arctg \left( \frac{a}{b} + \frac{1}{\mu} \right).$$

Nhiệm vụ 4. Một đứa trẻ trượt cầu trượt xuống bồn. Chiều cao của cầu trượt là $H = 15$ m, góc nghiêng so với phương ngang là $\alpha = 30^\circ$, hệ số ma sát tăng tuyến tính dọc theo đường đi từ $\mu_1 = 0$ tại đỉnh núi đến $\mu_2 = 0,4$ tại điểm dâng. Vận tốc của chúng ta sẽ là bao nhiêu khi áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:

$$m \left| \vec{g} \right| H = \frac{mv^2}{2} + A.$$

Ở đây $m \left| \vec{g} \right| H$ là thế năng của vật chìm trên đỉnh núi, $mv^2/2$ là động năng của chúng khi cúng dường và $A$ là công chống lại lực kéo trượt $\vec{F}_{\text{тр. ск.}}$.

Để xác định $A$, hãy vẽ biểu đồ về sự phụ thuộc của $\left| \vec{F}_{\text{тр. ск.}} \right|$ vào đường dẫn $s$ (Hình 8). Trên đỉnh núi

$$\left| \vec{F}_{\text{тр. ск.}} \right| = \mu_1 m \left| \vec{g} \right| \cos \alpha = 0,$$

tại buổi lễ chào bán

$$\left| \vec{F}_{\text{тр. ск.}} \right| = \mu_2 m \left| \vec{g} \right| \cos \alpha,$$

bằng mọi cách

$$s_0 = H/\sin \alpha.$$

Công $A$ bằng số với diện tích

Hình 8.

tam giác tô đậm trong Hình 8:

$$A = \frac{1}{2} \left| \vec{F}_{\text{тр. ск.}} \right| s_0 = \frac{1}{2} \mu_2 m \left| \vec{g} \right| H \text{ctg} \alpha.$$

Khi đó từ định luật bảo toàn năng lượng