Vương quốc của sự khéo léo

54

Vương quốc của sự khéo léo

Năm nay, nhà xuất bản “Nauka” đã tái bản một trong những cuốn sách toán học cổ và rất hay của Nga về toán học mà ông nội chúng ta đã nghiên cứu và yêu thích - cuốn sách của giáo viên thể dục E. I. Ignatev “Ở Vương quốc của sự khéo léo”.

E. I. Ignatev có thể được coi là tác phẩm kinh điển của thể loại toán học mà ông theo đuổi. Trong cuốn sách của mình, ấn bản đầu tiên được xuất bản năm 1908, ông đã thu thập một số lượng lớn các bài toán khác nhau để giao tiếp trong lập luận và hình học. Ấn bản thứ hai của cuốn sách xuất hiện vào năm 1911. Cuốn sách này đã không được tái bản kể từ đó. Đặc biệt những cuốn sách là phong cách văn chương, ngôn ngữ của tác giả. Tất nhiên, đối với phiên bản này, một số biến đổi của bài toán và các điều kiện của chúng là cần thiết. Tuy nhiên, tôi vẫn muốn thấy những tác phẩm kinh điển được phát hành lại một cách cẩn thận hơn - nếu không thì việc mất đi hương vị của thời gian là điều khó tránh khỏi.

Trong 70 năm qua, sự phổ biến của các tài liệu toán học được xuất bản bằng tiếng Nga đã trở nên phong phú hơn rất nhiều, và hiện nay bài toán từ cuốn sách của Ignatev được biết đến rộng rãi. Tuy nhiên, cuốn sách này chắc chắn vẫn rất được quan tâm ngay cả bây giờ - và không chỉ về mặt lịch sử.

Ignatev đã nói rất hay về mục tiêu của cuốn sách, về cách nghiên cứu toán học và cách dạy toán học cũng như vai trò của bài toán đối với sự khéo léo trong “Lời nói đầu” của ông cho ấn bản đầu tiên và thứ hai của cuốn sách. Dưới đây là những đoạn trích từ họ.

“Liệu có ai trong thời đại chúng ta phủ nhận nhu cầu phổ biến và phổ biến rộng rãi nhất kiến ​​thức toán học hiện nay không? Kiến thức toán học cơ bản nên được đưa vào quá trình giáo dục và giáo dục của chúng ta từ khi còn rất nhỏ. Không cần phải nói rằng sáng kiến ​​trí tuệ, sự nhanh trí và “hiểu biết” không thể được “truyền” hay “đưa” vào đầu bất kỳ ai. Kết quả chỉ đáng tin cậy khi việc giới thiệu lĩnh vực kiến ​​thức toán học được thực hiện một cách dễ dàng và dễ chịu, sử dụng các đồ vật và ví dụ từ các tình huống thông thường và hàng ngày, được lựa chọn với sự nhạy bén và hứng thú phù hợp.

---

Về toán học, trong xã hội chúng ta vẫn còn những nhà dự đoán kỳ lạ nhất. Một số người nói rằng chỉ những bộ óc đặc biệt, có năng khiếu rất đặc biệt mới có thể nghiên cứu toán học, những người khác cho rằng điều này đòi hỏi một “trí nhớ toán học” đặc biệt để điền các công thức, v.v.

Tất nhiên, người ta không thể phản đối thực tế rằng có những tâm trí có khuynh hướng rõ rệt về phía này hay phía khác của hoạt động tinh thần. Nhưng theo cách tương tự, không có cách nào có thể khẳng định rằng có bất kỳ điều kiện nào cho kiến ​​thức toán học cần thiết, ít nhất là trong quy mô của một khóa học trung học.

Cuối cùng, chúng ta hãy công bằng và thừa nhận rằng cụm từ “không có khả năng toán học” chủ yếu là sự không có khả năng, và có lẽ, đôi khi, là sự miễn cưỡng phù phiếm trong việc đưa việc dạy toán vào mức độ phù hợp trong gia đình và trường học.

Chúng ta càng không thể nói về sự cần thiết của toán học để có một loại trí nhớ đặc biệt, đặc biệt nào đó để điền (ghi dấu?) một số công thức hoặc quy tắc, để biến khoa học về tư duy logic có ý thức và nhất quán thành một loại quy trình máy móc, vô thức nào đó. Trong khi đó, mọi thứ có thể tiến xa đến đâu về mặt này đã được chứng minh bởi nhà toán học nổi tiếng người Nga V.P. Ermak. Nhân tiện, đây là những gì ông đã báo cáo trong một báo cáo của mình cho Hiệp hội Vật lý và Toán học Kyiv.

“Khi tôi phải đọc phép tính ngắt quãng cho học sinh, ngay năm đầu tiên, một tình tiết đã xảy ra khiến tôi mãi mãi in sâu trong trí nhớ.

Đọc xong phần lý thuyết mình cho bài toán để hiểu. Tôi yêu cầu học sinh giải bài toán trong terdras. Ở thước đo lời giải Tôi viết kết quả của mình lên bảng. Tuy nhiên, để làm rõ cách hiểu các khoảng sinh học, tôi đã viết các phương pháp bài toán lên bảng. Và trong cuộc sống, một số sinh viên lấy một số terdras ra khỏi túi và nhìn vào chúng.

• Cái gì thế này?
• Công thức chung.
• Để làm gì?
  — Giáo sư khuyên chúng tôi nên có một danh sách các công thức tổng quát và sử dụng nó để giải các ví dụ cụ thể. Rốt cuộc, bạn sẽ không yêu cầu chúng tôi ghi nhớ tất cả các công thức phổ biến.

— Bạn không nên ghi nhớ bất kỳ công thức nào trong toán học. Nhưng tôi cũng thấy không phù hợp khi sử dụng sách hướng dẫn và tìm các khoảng sử dụng các công thức chung bằng cách thay thế các giá trị đã cho của các chỉ số và hệ số vào chúng. Suy cho cùng, những công thức chung không phải từ trên trời rơi xuống chúng ta; để rút ra chúng bạn đã sử dụng một loạt lý luận; áp dụng lý luận tương tự cho các ví dụ cụ thể.

Do đó, hóa ra tích phân có thể được thực hiện mà không cần công thức tổng quát. Tuy nhiên, cần phải sửa đổi các tính toán ban đầu để chúng có thể được áp dụng trực tiếp vào các ví dụ cụ thể.

Một lợi ích khác là đối với mỗi ví dụ một phần, học sinh lặp lại cùng một lý luận cần thiết để rút ra công thức tổng quát. Navik có được nhờ sự lặp lại thường xuyên và kết quả là - tốc độ lời giải bài toán.

Tình tiết này khiến tôi đi sâu hơn vào các sinh vật của toán học.

Trong những năm còn trẻ, anh tập trung toàn bộ sự chú ý vào kết quả cuối cùng. Khi phân tích bất kỳ bằng chứng nào, tôi chỉ quan tâm đến việc đảm bảo tính nhất quán của nó. Vì vậy, thêm vào kết quả cuối cùng, thế là đủ! Sau đó tôi cố nhớ lại những kết luận cuối cùng, nhưng toàn bộ quá trình chứng minh nhanh chóng tan biến. Nhưng sau đó các công thức này đã bị lãng quên và thường những công thức này hóa ra lại cần thiết cho những nghiên cứu sâu hơn. Còn lại gì để làm? Xây dựng thư viện sách tham khảo? Nhưng không có đủ kinh phí cho việc này và không có chỗ cho các thư viện. Không thể tránh khỏi, cần phải sử dụng chính quá trình mà công thức này hoặc công thức kia được tạo ra. Vì vậy, cùng với các công thức, dần dần tôi đã đi đến việc chứng minh. Hóa ra việc sử dụng quá trình tư duy toán học dễ dàng hơn là chỉ sử dụng các công thức. Và không cần phải nhớ toàn bộ quá trình suy nghĩ; chỉ cần phác thảo những cột mốc quan trọng mà áo choàng của chúng ta sẽ đi là đủ. Và trong nhiều năm nay, tôi đã nhắc lại với những người hầu của mình: trong toán học, chúng ta không nên nhớ các công thức mà là quá trình suy nghĩ. […]

Nếu quá trình tư duy toán học được thể hiện, thì bản thân việc thu được các công thức đã là một vấn đề thuần túy máy móc.

Trong cơ chế các phép toán đại số, học sinh phải tiếp thu các kĩ năng ở bậc phổ thông.

Tôi đã đi đến kết luận rằng nguyên tắc nêu trên cũng nên được áp dụng ở trường trung học…”

Hãy tiếp tục suy nghĩ của V.P. Ermkov và nói: nguyên tắc này đặc biệt phải tạo thành nền tảng của giáo dục quốc gia - cả gia đình và trường học - trong lĩnh vực kiến ​​thức toán học. Đừng huấn luyện trẻ em hoặc thanh niên về các “bảng” cộng, trừ, nhân khác nhau hoặc điền vào các “quy tắc” và công thức khác nhau một cách máy móc, mà trên hết, hãy dạy chúng sử dụng chuột một cách tự nguyện và có ý thức. Các ứng dụng khác. Đừng dạy bất kỳ người thợ may nào những phép tính và bài tập nhàm chán và máy móc nhất.

Khi ai đó cần chúng trong cuộc sống, anh ấy đã tự mình làm ra chúng - và hiện nay có đủ loại máy tính, bàn và các thiết bị khác cho việc này.

---

Tất nhiên, khi cố gắng đưa người đọc đến “lãnh thổ của sự khéo léo”, chúng tôi sẽ không tự lừa dối mình rằng chúng tôi đã có thể cho họ thấy vương quốc này với tất cả sự quyến rũ và trọn vẹn của nó. Để làm được điều này, sẽ cần nhiều hơn một cuốn sách như vậy: diện tích chỉ dành cho những khoa toán học có thể tóm tắt dưới tiêu đề chung là “trò chơi và giải trí toán học” quá lớn

Để độc giả có thể đánh giá cao tính chất phi tiêu chuẩn của cuốn sách, chúng tôi sẽ xuất bản hai bài toán từ nó, cùng với các giải pháp của chính Ignatiev.

1. Ngỗng và cò bài toán quyết định như thế nào

Một trăm con ngỗng đang bay, một con ngỗng bay về phía chúng và nói: “Xin chào, một trăm con ngỗng!” Và con ngỗng già phía trước trả lời anh ta: “Không, chúng tôi không phải là một trăm con ngỗng!” Bot, giá như chúng ta có thêm nhiều người như vậy, và thậm chí nhiều hơn nữa

một nửa, và một phần tư, còn bạn, ngỗng, khi đó sẽ có một trăm con ngỗng, nhưng bây giờ… Đây là cách tính, chúng ta có bao nhiêu người?

Chuyện của cô ấy cũng đã được giải quyết. Con ngỗng cô đơn nằm xuống sâu hơn và bắt đầu suy nghĩ. Trên thực tế, anh ta đã gặp bao nhiêu con ngỗng buôn? Anh nghĩ đi nghĩ lại, dù đứng về phía nào cũng không thể giải quyết được bài toán này. Bot nhìn thấy một con ngỗng trên bờ lao động Ansta: một con chân dài đi dạo và chải ếch. Cò là loài chim quan trọng và chiếm ưu thế so với các loài chim khác; toán học yếu: theo đồng hồ, đôi khi bất động bằng một chân, anh ta rên rỉ và suy nghĩ mọi thứ, dường như, bài toán quyết định. Con ngỗng quay lại, bay vào tay anh, uống rượu với thiên thần và kể cho anh nghe về việc anh đã gặp một đàn bạn đồng hành như thế nào và con ngỗng đầu đàn đã hỏi anh câu đố gì, nhưng anh không thể giải được câu hỏi này bài toán.

“Hm!…” Anst hắng giọng, “hãy thử quyết định xem.” Chỉ cần chú ý và cố gắng hiểu. Bạn sẽ tìm thấy nó chứ?

• Tôi sẽ nghe và cố gắng! - ngỗng trả lời.

• Đây này. Họ đã nói với bạn như thế nào? Nếu con ngỗng sắp tới thêm nhiều hơn thế, thậm chí chỉ bằng một nửa, và bạn, con ngỗng, liệu đó có phải là một trăm không? Vì thế?

• Vì thế! - ngỗng trả lời.

“Bây giờ hãy nhìn xem,” con kiến ​​nói. - Đây là những gì tôi sẽ vẽ cho bạn trên bãi cát ven biển.

Con cò thuận cổ và dùng mỏ vẽ một đường, bên cạnh cũng là một đường, rồi lại vẽ đường đó, rồi một phần tư, thậm chí là một đường nhỏ, gần như một dấu chấm.

Kết quả là những gì được hiển thị trong Hình 1.

Hình 1.

Ngỗng uống ngay vào bờ, đi ra, lạch bạch trên bãi cát, nhìn nhưng không hiểu gì.

• Bạn hiểu không? - hỏi hành động.

56

• Chưa! - ngỗng buồn bã trả lời.
• Ôi, cậu! Chà, hãy nhìn xem: như họ đã nói với bạn - một đàn, và thậm chí một đàn, và một phần tư trại, và bạn, một con ngỗng, - vì vậy tôi đã vẽ: một đường, một đường khác, một nửa đường, và một phần tư đường này, và thậm chí cả một chấm nhỏ, tức là bạn. Hiểu không?
• Hiểu rồi! - ngỗng cái vui vẻ nói.
• Nếu bạn thêm một đàn khác vào đàn bạn gặp, nửa đàn, một phần tư đàn, và bạn, một con ngỗng, thì sẽ có bao nhiêu con?
• Một trăm con ngỗng!
• Sẽ bao lâu nữa không có anh?
• Chín mươi chín.
• Khỏe! Hãy xóa điểm tượng trưng cho bạn, con ngỗng, trong bức vẽ của chúng ta và chỉ ra rằng còn lại 99 con ngỗng.
  Con cò dùng mũi vẽ trên cát những gì được minh họa trong Hình 2.

Hình 2.

“Bây giờ cô ấy nói,” con cò tiếp tục, “một phần tư stan và nửa stan - đó sẽ là bao nhiêu phần tư?”
Ngỗng suy nghĩ một lúc, nhìn những đường nét trên cát và nói:
— Đường vẽ nửa khuông dài gấp đôi đường kẻ của một phần tư khuông nhạc, tức là, nửa khuông có hai hình vẽ. Điều này có nghĩa là một nửa trại rưỡi cũng giống như kế hoạch ba trại!

• Làm tốt! - cò khen ngỗng. - Chà, có bao nhiêu phần tư trong một chồng?
• Tất nhiên là bốn! - ngỗng trả lời.
• Vì thế! Nhưng chúng ta có một đàn ở đây, một đàn khác, nửa đàn và một phần tư đàn, và con số này sẽ lên tới 99 con ngỗng. Vậy nếu chúng ta dịch mọi thứ thành bản vẽ thì sẽ có bao nhiêu bản vẽ?
  Ngỗng suy nghĩ rồi trả lời - Một đàn cũng giống như 4 bức vẽ về một cái trại, thậm chí một đàn cũng là 4 bức vẽ về một cái trại, tổng cộng là 8 bức vẽ; Có, có 2 bức vẽ trong trại: tổng cộng 10 bức vẽ;

và thậm chí một phần tư trại: tổng cộng có 11 trại quân dịch, và con số này sẽ lên tới 99 con ngỗng.

Vì thế! - con cò nói. - Bây giờ anh ấy nói, cuối cùng anh đã nhận được gì?
“Tôi nhận được,” ngỗng cái trả lời, “rằng trong cùng một bản vẽ của nhiều trại mà chúng ta gặp sẽ có 99 con ngỗng.”

• Vậy có nghĩa là có bao nhiêu con ngỗng trong một trại?
  Con ngỗng chia 99 cho 11 và trả lời:
• Trong bức vẽ chiếc trại có 9 con ngỗng.
• Thế một đống có bao nhiêu?
  “Toàn bộ kế hoạch đã hoàn thành… Tôi đã gặp được 36 con ngỗng,” ngỗng cái vui mừng kêu lên.
  Thế thôi! - con cò nói quan trọng. “Tôi cho rằng tôi không thể tự mình đến được đó!”
  Ơ, cậu… trời ơi!

2. Người nông dân và ác quỷ

Chúng tôi đến những người nông dân và khóc: “Ehma! Cuộc sống thật cay đắng! Nhu cầu đã hoàn toàn không còn nữa! Chúng tôi có một ít sữa trong túi, một vài đồng xu, và chúng tôi phải trả lại ngay. Và làm sao chuyện xảy ra với những người khác là họ vẫn kiếm được tiền từ tiền của mình? Thực sự, giá như có ai đó muốn giúp đỡ.”
Anh ta vừa nói xong thì có một con quỷ đứng trước mặt anh ta như một con quỷ.
“Chà,” chúng tôi nói, “nếu bạn muốn, tôi sẽ giặt nó cho bạn.” Và nó không khó chút nào. Bạn có nhìn thấy những hình vẽ ở đây không?

• Vizka! - chúng tôi nói với những người nông dân, nhưng bản thân anh ta đã trở nên rụt rè.
  “Chà, nếu chúng ta vượt qua dòng sữa, chúng ta sẽ có số tiền gấp đôi số tiền chúng ta có.” Nếu bạn quay lại, bạn sẽ lại to gấp đôi trước đây. Và mỗi khi chuyển nơi ở, chúng ta sẽ có số tiền gấp đôi số tiền trước khi chuyển đổi.
• Ồ? - chúng tôi nói với những người nông dân.
• Nói đúng đấy! - Hãy báo cho quỷ biết. - Hãy cho tôi biết! Vì việc tôi đưa tiền cho tôi nên chúng tôi

Mỗi khi bạn đi qua một địa điểm, hãy cho tôi 24 kết thúc, nếu không bạn sẽ không hài lòng.

“Ồ, đó là những gì người nông dân nói.” “Sau khi chúng ta hoàn thành mọi việc mỗi ngày, tại sao bạn không cho tôi 24 kết thúc mỗi lần?” Vâng, hãy thử!

Anh ta băng qua ghế một lần và đếm tiền. Quả thực, nó đã tăng gấp đôi. Anh ta ném 24 đầu của dây và vượt qua vị trí lần thứ hai. Số lượng người Onedenite nhiều gấp đôi so với trước đây. Anh ta đếm được 24 kết thúc, vượt qua vạch và vượt qua các địa điểm lần thứ ba. Denedenet đã tăng gấp đôi kích thước. Nhưng sữa hóa ra lại là thứ nuông chiều 24 đầu của họ, mà khi được thông báo, anh phải đưa giấy chứng nhận. Anh ta đã cho họ đi và bị bỏ lại không có hồi kết.

Hỏi lúc đầu người nông dân có bao nhiêu tiền?

Đã giải quyết. Vấn đề có thể được giải quyết rất dễ dàng, nếu chỉ lời giải bắt đầu từ cuối, có tính đến việc sau lần chuyển đổi thứ ba, người nông dân có 24 kopecks mà anh ta phải đưa ra.

Trên thực tế, nếu sau lần chuyển đổi cuối cùng mà người nông dân có 24 kopecks, thì điều đó có nghĩa là sau lần chuyển đổi này anh ta có 12 kopecks. Nhưng 12 kopecks này. hóa ra sau khi anh ta đưa 24 kopecks, có nghĩa là anh ta có tổng cộng 36 kopecks. Do đó, anh ta bắt đầu quá trình chuyển đổi thứ hai với 18 kopecks và 18 kopecks này. anh ấy đã nhận được nó sau khi chuyển nơi ở lần đầu tiên và đưa ra 24 kopecks. Điều này có nghĩa là sau lần chuyển đổi đầu tiên, anh ta có 18 và 24 kopecks, tức là 42 kopecks. Từ đó, rõ ràng là trước khi chuyển đến nơi ở của họ, những người nông dân có 21 kopecks trong túi. tiền riêng.

Người nông dân đã mắc sai lầm! Rõ ràng là khi đối xử với người khác bạn luôn phải có suy nghĩ của riêng mình.

Yu. Yushina