Bài toán M531—M535; F543—F547

18

Vấn đề
lượng tử

M531—M535; F543—F547

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài chương trình học hiện tại. Những câu khó nhất bài toán đã được đánh dấu hoa thị.

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 1 năm 1979 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ, viết các số bài toán, lời giải bạn định gửi lên phong bì (ví dụ: “M531, M534” hoặc “F543”). Lời giải bài toán cho từng môn học (toán và vật lý), cũng như các bài tập mới phải được gửi trong các phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau trong các phong bì khác nhau.
Kèm theo một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải).
Gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau từ ngữ bài toán chúng ta thường cho biết ai đã đề xuất nó. Tất nhiên, không phải tất cả bài toán đều được xuất bản lần đầu tiên.

M531. Người đi xe đạp không tự động rời điểm A và B hướng về nhau cùng một lúc. Chúng tôi gặp nhau ở điểm C, họ lập tức quay đầu xe và lái xe về (với tốc độ như nhau). Đến điểm A và B, họ quay lại và gặp nhau lần thứ hai tại điểm D; ở đây họ lại quay đầu lại, v.v. Cuộc gặp gỡ lần thứ 1978 của họ diễn ra ở điểm nào trên đoạn AB?

N. Vasiliev

M532. Hãy đặt $a_n = \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ và $b_n = \sqrt{4n+2}$. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
a) $[a_n] = [b_n]$, trong đó $[x]$ là phần nguyên của số x;
6) $0 < b_n - a_n < \frac{1}{16n\sqrt{n}}$.

M533*. Một đa giác lồi là đặc biệt nếu một số trong ba đường chéo của nó cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng với mọi hình bảy cạnh đặc biệt đều có một đỉnh A có tính chất sau: với mọi $\varepsilon > 0$, đỉnh A có thể dịch chuyển đến một khoảng nhỏ hơn $\varepsilon$ (mà không làm thay đổi các đỉnh còn lại), sao cho hình bảy cạnh thu được là không số ít.

B. Voltyansky

M534. Khi các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC và đi qua một điểm thì bị hình thang cắt khỏi $\triangle ABC$. Khi theo đường chéo, các hình thang không có đầu chung này sẽ chia tam giác thành bảy phần, trong đó có bốn phần là hình tam giác (Hình 1). Chứng minh rằng tổng diện tích của ba tam giác kề cạnh $\triangle ABC$ này bằng diện tích của bốn tam giác đó.

B. Kosyanchuk

M535. Cho một hệ ba vô hạn theo cả hai hướng các chuỗi điểm $A_k, B_l, C_m$ được cho trên mặt phẳng (các chỉ số $k, l$ và $m$ chạy qua toàn bộ tập hợp số nguyên). Chúng ta xác định một hệ thống đáy tàu như vậy nếu với bất kỳ $k$ và $m$ đường thẳng $A_kC_m$