Задачи М531—М535; Ф543—Ф547

18

Задачик
кванта

М531—М535; Ф543—Ф547

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки нынешней школьной программы. Найболее трудные задачи отмещены звездочек.

Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 января 1979 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка 21/16, редакция журнала «Квант».
После адреса написите на конверте номера задач, решения которых вы посылаете (например, «М531, М534» или «Ф543»). Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задания просылать в отдельных конвертах. Решения задач из разных номеров журнала также присылайте в разных конвертах.
В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений).
Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задач по физике» или «…новая задач по математике»). После формулировки задачи мы обычно указываем, кто ее предложил. Разумеется, не все задачи публикуются впервые.

М531. Из пунктов А и В не одновременно выехали настречу друг другу автоматически и велосипедист. Встретились в точке C, они точас развернулись и поехали обратно (с теми же скоростями). Доехав до своих пунктов A и B, они опять развернулись и второй раз встретились в точке D; здесь они вновь развернулись, и т. д. В какой точке отрезка AB произошла их 1978-я встреч?

H. Васильев

М532. Положим $a_n = \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ и $b_n = \sqrt{4n+2}$. Докажите, что для любого натурального n
a) $[a_n] = [b_n]$, где $[x]$ — целая часть числа x;
6) $0 < b_n - a_n < \frac{1}{16n\sqrt{n}}$.

М533*. Наозем выпукленный многоугольник особым, если некоторые три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что у каждой особого семиугольника найдет вершина A, обладающая таким свойством: для любого $\varepsilon > 0$ вершину A можно сдивнуть на расстояние, меньше $\varepsilon$ (не меняя остальных вершин), так, что полученный семиугольник будет неособым.

B. Волтянский

М534. При прямые, параллельные стороны треугольника ABC и проходящие через одну точку, отсекают от $\triangle ABC$ трапеци. При диагонали этих трапеци, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники (рис. 1). Докажите, что сумма площадей трех этих треугольников, прилежащих к сторонам $\triangle ABC$, равна площади четырого.

B. Косьянчук

М535. Пусть на плоскости задана система из трех бесконечных в обе стороны последовательностей точек $A_k, B_l, C_m$ (индексы $k, l$ и $m$ пробегают все множество целых чисел). Наозем такую систему трюмерной, если для любых $k$ и $m$ прямой $A_kC_m$