Задачи

38

Задания

1. a) Докажите, что если к произвольному числу с нечетным количеством цифр приписать его еще раз, то полученное число разделится на одинадцать.

6. Докажите, что если к произвольному числу приписать число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то полученное число также разделится на одинадцать.

2. При каких натуральных $n$ число $n^4+n^2+1$ является простым?

3. Семь школьников решили за воскресенье обойти семь кинотетров. В каждом кинотетре восем сеансов. В разных кинотетрах сеансы начинаются в одно и то же время. На каждый сеанс шестеро школьников шли вместе, а седьмой (не обязательно один и тот же) шел в другой кинотетр. К вечеру каждой школьник побывал в каждом кинотетре. Докажите, что в каждом кинотетре был сеанс, на котором не присутствовал ни один из этих школьников.

4. Беседуя с гостями в конце 1975 года, хозяйин пошутил, что люди часто не любят насывать свой возраст.

— Я бы, например, на вопрос о возрасте сказал, что мой возраст является делительм моого года рождения.

— Хоть я и значительное моложе,— сказал один из гостей,— но могу то же утверждать и о своем возрасте.

Далее выяснили, что сын хозяйина мог сказать то же о себе в 1961 году, а один из внуков, недавно получивший офисерское звание,— в 1963. А вот покойный отец хозяйина мог бы сказать то же о себе в 1962 году.

В какие же годы родились названные лица?