Высокие степени

13

В этой статье мы будем сравнить между собой числа. Постоянным будет вопрос: какое из чисел больше? Кое- кто из вас может подумать: «Что тут справивать! Всем ясно, что десять больше пяти, а сто меньше тысячи». Ну что же, прочитав эту заметку, вы, верятно, согласитесь, что ответ на этот вопрос бывают очень и очень непростим.

Начнем с такой задачи.

Задача 1. Какое число больше: $2^{3100}$ или $3^{2100}$?

Решение. Докажем, что $2^{3100} > 3^{2100}$. Действительно, $2^{3100} = 4^{\frac{3}{2}}$. Поэтому достаточно доказать, что $\frac{3}{2} > 2^{100}$ или что $(\frac{3}{2})^{100} > 2$. Но уже $(\frac{3}{2})^2 > 2$, так что $(\frac{3}{2})^{100}$ и подавно больше 2. Из нашего решения видно, что $2^{32} > 3^{22}$. Из этого факта (его нетрудно проверить и неосредственно) легко вывести другое решение задачи.

Следующая задача чут-чут сложнее.

Задача 2. Какое число больше: $5^{10} + 6^{10}$ или $7^{10}$?

Первое решение. Докажем, что $5^{10} + 6^{10} < 7^{10}$. Так как $5^{10} + 6^{10} < 2 \cdot 6^{10}$, то достаточно доказать, что $(\frac{7}{6})^{10} > 2$. После нее неравенство следует из неравенства Бернулина («Алгебра и начала анализа 9», п. 2):

$$\left(\frac{7}{6}\right)^{10} = \left(1 + \frac{1}{6}\right)^{10} > 1 + 10 \cdot \frac{1}{6} > 2.$$

Второе решение. Заметим, что $5^3 + 6^3 = 341 < 343 = 7^3$.

Поэтому $\left(\frac{5}{7}\right)^3 + \left(\frac{6}{7}\right)^3 < 1$. Так как $\left(\frac{5}{7}\right)^{10} < \left(\frac{5}{7}\right)^3$ и $\left(\frac{6}{7}\right)^{10} < \left(\frac{6}{7}\right)^3$; получаем $\left(\frac{5}{7}\right)^{10} + \left(\frac{6}{7}\right)^{10} < 1$. Значит, $5^{10} + 6^{10} < 7^{10}$.

Задача 3. Какое из десяти чисел $1^{10}, 2^9, 3^8, 4^7, 5^6, 6^5, 7^4, 8^3, 9^2, 10^1$ самое большее?

Решение. Очевидно, что $2^9 > 1^{10}$. Докажем, что $3^8$ больше $2^9$. Действительно, $3^8 = 9^4 > 8^4 = 2^{12} > 2^9$. Тепер сравним $4^7$ и $3^8$: $4^7 > 3^8 \Rightarrow \left(\frac{4}{3}\right)^7 > 3$. Осталось заметить, что $\left(\frac{4}{3}\right)^7 = \left(1 + \frac{1}{3}\right)^7 > 1. + 7 \cdot \frac{1}{3} > 3$.

Итак, из первых четырех чисел самое большее $4^7$.

Докажем теперь, что $4^7 > 5^6 > 6^5 > 7^4 > 8^3 > 9^2 > 10^1$. Из $4^7 > 5^6 \Leftrightarrow \left(\frac{5}{4}\right)^6 < 4$ и $\left(\frac{5}{4}\right)^6 = \left(\frac{125}{64}\right)^2 < 2^2 = 4$ следует $4^7 > 5^6$.

Неравенства $5^6 > 6^5$ и $6^5 > 7^4$ доказываются аналогично.

Неравенства $7^4 > 8^3 > 9^2 > 10^1$ очень видны.

Таким образом, самое большее среди них еще раз вернемся к этой задаче и приведем менее «выкладочное» решение.

Задача 4. Какое число больше: $1^n + 2^n + 3^n + \dots + 9^n$ или $10^n$?

Решение. Легко видеть, что при маленьких $n$ $1^n + 2^n + \dots + 9^n$ больше, чем $10^n$. Действительно, $1 + 2 + \dots + 9 > 10$; $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 9^2 > 10^2$; $1^3 + 2^3 + \dots + 9^3 > 9^3 + 8^3 = 729 + 512 > 1000 = 10^3$.

Прежде чем рассматривать другие значения $n$, заметим, что если при некотором $n$ $1^n + 2^n + \dots + 9^n < 10^n$, то для всех $m > n$ тем более $1^m + 2^m + \dots + 9^m < 10^m$. Действительно, при перехождение к большим значениям пока-