Знаете ли вы, что 220 вольт / 127 вольт ≈ √3?

32

Ниже мы публикуем две заметки о гармоничских колебаниях. Гармоничские колебания изучаются в начале 10 класса на уроках математики («Алгебра и начала аналiza 10», § 16). Но они интересны не только с математической точки зрения — мы часто встречаемся с ними в самых разнообразных процесах в природе и технике — не даром гармоничские колебания изучаются и на уроках физики («Физика 10», § 5, 6), в частности, в теме переменной электрической ток. Именно этой теме посвящены об этом. Их объединяет и математическое содержание: обе существенно опираются на так называемые векторные диаграммы гармоничских колебаний.

Ж. Раббом

Знаете ли вы, что
$$\frac{220 \text{ волт}}{127 \text{ волт}} \approx \sqrt{3}?$$

В сети переменного тока, как вы знаете, — напряжение 220 или 127 волт. Оказывается, относение 220 к 127 с большой точностью равно $\sqrt{3}$. В этом легко убедиться, разделив «столбиком» 220 на 127 и сравив полученный результат 1,7322… со значением числа $\sqrt{3}$, взятым из таблиц: 1,7321…

В школьном физическом кабинете имеется напряжение 380 или 220 волт. Если и в этом случае выполнить деление, вновь получим
$$380:220 \approx 1,73 \approx \sqrt{3}.$$

Слушайно ли это?

Разобраться в этом нам помогет математика, точнее — результаты упражнения 69, 70 из учебника «Алгебра и начала аналiza 10». Напомним нужные нам понятия и результаты:

a) Пусть точка $P(t)$ движется по окружности радиуса $A$ против часовой стрелки так, что вектор $\vec{OP}(t)$ равномерно врашает векруг начала координат $O$, проходя за единицу времени $\omega$ радиан ($\omega > 0$). Тогда проекция точки $P(t)$ на ось абсцисс совершает гармоничские колебания с частотой $\omega$ и амплитудой $A$. Пусть в начальной момент времени $t = 0$ вектор $\vec{OP}(0)$ составлял с положительным направлением оси $\vec{Ox}$ угол $\varphi$ ($\varphi \in [0; 2\pi]$). Очевидно, вектор

$$\vec{OP}(0)$$ определяет амплитуду $A = |\vec{OP}|$ и начальное фазу $\varphi = \vec{OP}(0)$; $\vec{Ox}$ гармоничского колебания. Этот вектор называется векторной диаэрамой гармоничного колебания.

6. Сумма двух гармоничных колебаний одинаковой частоты — гармоничское колебание той же частоты. Векторная диаграмма суммы двух гармоничных колебаний (рис. 1) равна сумме векторных диаграмм этих колебаний *). Аналогично — для разности (рис. 2).

Вернемся теперь в наш физический кабинет. На распределительном шитке имеется 4 клеммы: три «фазы» и «нуль». Напряжение на них подается от трехфазного генератора электрического тока. Мы не будем оставляться на работе трехфазного генератора **), а лишь посям отменный в заглавии нашей заметки факт с помощью векторных диаграмms.

Зависимость от времени напряжения между каждой из трех «фаз» и «нуль» — гармоничское колебание. Эти три колебания имеют одну

*) См. «Алгебра и начала аналiza 10», п. 82, упр. 69, 70 и «Квант», 1976, № 11, с. 44. См. также «Физика 10», § 26.
**) Об этом рассказано в заметке А. Землякова и В. Орлова (с. 33).