Вооружившись методом координат

42

Вопросы методом координат

О применении координатного метода к решению геометрических задач в «Кванте» уже писалось *. В настоящее время затронуты новые аспекты этой важной темы.

Задача 1 (МИЭМ, 1977 г.). При новом методе координатной плоскости на узолα с центром в точке М точка A (1; 2) переходим в A₁ (6; 5), а B (1; 4) — в B₁ (4; 5). Найти образ точки C (1; 3). Найти образ еще одной точки (по вашему усмотрению). Найти величины уела α и координаты точки M.

Решение. Отметим на координатной плоскости точки A; A₁, B, B₁ и C (рис. 1). Для определения координат (x; y) точки M воспользуемся тем, что поворот является перемещением и поэтому |MA|²=|MA₁|² и |MB|²=|MB₁|², т. е.

$$\int (x-1)^2 + (y-2)^2 = (x-6)^2 + (y-5)^2$$
$$\int (x-1)^2 + (y-4)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2.$$

Решая эту систему, находим, что x=2 и y=6.

Пусть $R_M^\alpha(C) = C_1$. Определим координаты $(x_1; y_1)$ точки C₁. Точка C, как нетрудно заметить, является серединой [AB], и поэтому ее образ — точка C₁ — является серединой [A₁B₁]. Учитывая это, получаем, что точка C₁ имеет координаты (5; 5).

Определим теперь величины угла α. Заметив, что абсциссы точки A и B

*) № 11 за 1977 г.

Рис. 1.

43

Теперь необходимо выяснить, какое из полученных решений является координатами точки $D_1$. Взглянув на чертеж, читатель сразу увидит, что правильным является первое решение, а второе — построенное. На экзамене, однako, требуется строое обоснование выбора правильного решения. Прежде чем приведится это обоснование, выясним геометрический смысл полученных решений и объясним, почему их два.

Первое уравнение системы (1) есть уравнение окружности с центром в точке $M$ и радиусом, равным $|MD|$ (рис. 2). Второе уравнение системы (1) — уравнение окружности с центром в точке $A_1$ и радиусом, равным $|AD|$. Вторая уравнение пересекает первую в двух точках $-D_1'(7; 7)$ и $D_1''(\frac{101}{17}; \frac{47}{17})$, одна из которых является образом точки $D$. (Если же точка $D$ принадлежит направлении, [МА], то вторая уравнение будет касаться первой, и мы получим одно решение системы (1), которое и будет искомым.)

Ясно, что $\triangle DMD_1'$ и $\triangle DMD_1''$ — равноведенные и лишь один из углов $\overrightarrow{DMD_1'}$, $\overrightarrow{DMD_1''}$ равен $\alpha$ (в нашем задаче $\alpha = \frac{\pi}{2}$). Определим, какой. Рассмотрим $\triangle DMD_1'$. Найдем $|DD_1'|$:

$$|DD_1'| = \sqrt{(7-3)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{52}.$$
Пусть $F$ — середина $[DD_1']$, тогда $|DF| = \frac{1}{2}\sqrt{52}.$ ИЗ $\triangle DMF$:

$$\sin \overrightarrow{DMF} = \frac{|DF|}{|DM|} = \frac{\sqrt{52}}{2\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$\overrightarrow{DMF} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \overrightarrow{DMD_1'} = \frac{\pi}{2}.$$

Затемание. Из двух точек, получающихся при отыскании образа некоторой точки $N(a; b)$, естественно выбрать для проверки ту, координаты которой «проще» (это облегчает вычисления). Если выяснить, что выбранная для проверки точка дает нужное решение, то она и является образом точки $N$. Если — не дает, то, естественно, образом точки является вторая точка.

Задача 2 (МФТИ, 1977 г.). На координатной плоскости расположен квадрат $ABCD$. Вершины $A$ и $B$ квадрата лежат на графике функции $y=x^2$, и вершины $C$ и $D$ — на графике функции $y=x-4$. Определим диапазон квадрата.

Решение. На координатной плоскости (рис. 3) изображены графики функции $y=x^2$, $y=x-4$ и квадрат $ABCD$, расположенный так, как указано в условии. Поскольку прямая $y=x-4$ перпендикулярна прямой $y=-x$, [АС] || (Ох) и [BD] || (Оу) Пусть $|AC|=l$ и $A(x_1; y_1)$, тогда:

Рис. 2.
Рис. 3.

45

И, наконец, из (3) находится $|AP| = \sqrt{\frac{17}{16} - \frac{9}{170}} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{1373}{85}}$.

Заметание. На «чистовике» решения этой задачи приводить чертеж не обязательно. Полезно, однако, сделать чертеж на черновике. Ради большей наглядности мы приводим здесь построение сечения данного куба плоскостью $\alpha$ (рис. 4). Находим точку $S$, в которой прямая $OB$, принадлежащая $\alpha$, пересечет ребро $KK_1$. [SA] — отрезок, по которой $\alpha$ пересекает грань $KK_1L_1L$. Ясно, что $\alpha$ пересекает грань $NN_1M_1M$ по отрезку $BT$, параллельному [AS]. $Q = (BT) \cap (MN)$; очевидно, $Q \in \alpha$ и $Q \in (KLM)$, $(AQ) = \alpha \cap (KLM)$; находим $U = (AQ) \cap (LM)$. Теперь уже построение сечения не вызывает затруднений.

Задание 4 (МГУ, механизм, 1977 г.). Основанием параметры SABC является равносторонний треугольник $ABC$, длина стороны которого равна $4\sqrt{2}$. Боковое ребро SC перепendlukулярно плоскости основания и имеет длину 2. Наименование между скрещивающимся прямыми, одна из которых проходит через точку $S$ и середину ребра $BC$, а другой проходит через точку $C$ и середину ребра $AB$.

Решение*). SABC (рис. 5)

*) В «Кваните», 1978 г., № 2, c. 59—60 изложены два решения этой задачи: неопределенно геометрическое и векторное.

Данная в условиях пирамида. Точки $E$ и $F$ — середины ребер $BC$ и $AB$ соответственно. Введем систему координат, как показано на рисунке *), и определим координаты вершин пирамиды и точек $E$ и $F$: $A (0; 4\sqrt{2}; 0)$; $B (2\sqrt{6}; 2\sqrt{2}; 0)$ (абсцисса точки $B$ находится как высота равностороннего треугольника из соответствия $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $h$ — высота и $a$ — сторона треугольника); $C (0; 0; 0)$; $S (0; 0; 2)$; $E (\sqrt{6}; \sqrt{2}; 0)$ и $F(\sqrt{6}; 3\sqrt{2}; 0)$. Угол между скрещивающимся прямыми находится с помощью скалярного умножения векторов $\vec{SE}$ и $\vec{CF}$ (см. «Кваните», 1978, № 2, c. 60); он равен $\frac{\pi}{4}$.

Для определения расстояния между скрещивающимся прямыми проводим в $(ABC)$ через точку $E$ прямую, параллельную $(CF)$; $G$ — точка, в которой эта прямая пересекает сторону $AB$. Очевидно, что координаты $G$ будут $\left(\frac{3\sqrt{6}}{2}; \frac{5\sqrt{2}}{2}; 0\right)$ (проверьте самостояльно).

Пересекающийся прямые $SE$ и $EG$ (или, что то же, три точки: $S, E, G$) определяют неокоторую плоскость.

$ax + by + cz + d = 0$, (6) которая параллельна прямой $CF$ (так как $(EG) \parallel (CF)$) и содержит $(SE)$. Поэтому расстояние от любой точки $(CF)$ до $(SEG)$ равно расстоянию между скрещивающимся прямыми $SE$ и $CF$.

Определим теперь значения коэффициентов $a, b, c$ и $d$ в уравнения (6).

*) Здесь чертеж простой, и его целесообразно привести в «чистовике» решения.