Трёхфазный ток

33

и ту же частоту $\omega$ и амплитуду $A$, но так отличаться фазами, что концы их векторных диаграмм образуют правильный треугольник (см. $\triangle P_1P_2P_3$ на рис. 3).

Напряжение между двумя «фазами» (например, между первой и второй) — тоже гармоничское колебание. Оно равно разности гармоничских колебаний, соответствующих этим фазам. Поэтому его векторная диаграмма — разность векторных диаграмм $\overrightarrow{OP}_1$ и $\overrightarrow{OP}_2$ (рис. 3). Значит, амплитуда $A_{12}$ этого направления равна длине стороны правильного треугольника $P_1P_2P_3$. Амплитуда $A_{10}$ направления между «фазой» (скажем, первой) и «нулем» — длина вектора $\overrightarrow{OP}_1$, то есть $\frac{2}{3}$ высоты правильного треугольника $P_1P_2P_3$.

Таким образом, относение амплитуды $A_{12}$ к $A_{10}$ равно относению

$$\frac{220}{127} \text{ равно } \sqrt{3} \text{ только при } 6 \text{ и жено. Отсюда вытекает, что если первое направление в цепи равно в точности } 220 \text{ В, то второе равно } 127 \text{ В, а } \frac{220}{\sqrt{3}} \text{ В. В результате же сети случайные отклонения направления все равно преосходят } \left| \frac{220}{127} - \sqrt{3} \right|.$$

A. Земляков, B. Орлов

Трехфазный ток

Промышленные генераторы (например, что установлены на гидроэлектростанциях) дают на самом деле не просто переменный ток (т. е. ток, меняющийся по гармоничскому закону $i(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$), а ток с треязыми фазами. В первой части заметки мы рассжем, как получается такой «трехфазный» ток, а во второй — почему его лесообразно использовать в электродвигательх. Как и в предыдущей заметке, здесь решающего роль играет тот же математический пример: сложение векторных диаграмм гармоничских колебаний.

1. Генераторы переменного тока

Если проводочная рамка равномерновращается в однородном магнитном поле, то поток магнитной индукции через рамку меняется по гармоничному закону:

$$\Phi(t) = (\vec{B} \cdot \vec{n}) \cdot S = BS \cos \omega t,$$

где $\vec{B}$ — вектор магнитной индукции, $S$ — ограниченная рамкой площадь,

34

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

$\vec{n}$ — единичная норма к плоскости рамки, которая поворачивается с угловой скоростью $\omega$ и в момент времени $t$ образует с вектором $\vec{B}$ угол $\omega t$; мы считаем, что ось врашшения рамки перепlendикулярна вектору $\vec{B}$ (рис. 1). В результате действия силы Лоренца свободные заряды, движущиеся в поле вместе с рамкой, начинают перемещаться вдоль проводников рамки, в которой возникнет ЭДС индукции, равная

$$e = -\Phi'(t) = \omega BS \sin \omega t.$$

Напряжение между концами рамки также будет меняться по гармоничческому закону, и в соответствии с замкнутой цепи возникает переменный электрический ток:

$$i(t) = I \cos(\omega t + \varphi).$$

Такова простейшая модель генератора генерационного электрического мока (ср. «Физика 10», § 21).

В промышленных генераторах вращается не рамка, а магнитное поле, и ЭДС создается в неподвижной обмотке, причем на самом деле с разу в трех одинаковых обмотках, расположенных под углом $120^\circ$ одна к другой (рис. 2). Это приводит к тому, что получающейся электрические колбания сdvинуты по фазе друг относительно друга на $2\pi/3$ — направер, для ЭДС индукции можно записать:

$$e_1 = \sin \omega t,$$
$$e_2 = \sin \left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right),$$
$$e_3 = \sin \left(\omega t + \frac{4\pi}{3}\right)$$

(объясните). Соответствующая система токов называется трехфазной; она была предложена в 1888 году русским электротехником М. О. Доливо-Добровольским и ныне применяется во всем мире. Зачем же нужна трехфазная система токов? Каковые преимущества?

Прежде всего объясним, как подключается нагрузка к трехфазному генератору. Если ко всем этом обмоткам подсоединить одинаковые нагрузки (рис. 3a), то амплитуды силы тока во всех трех цепях будет одна

35

и та же:

$$i_1 = I \cos(\omega t + \varphi),$$
$$i_2 = I \cos(\omega t + \varphi + \frac{2\pi}{3}),$$
$$i_3 = I \cos(\omega t + \varphi + \frac{4\pi}{3}).$$

Складывая эти гармоничческие колебания с помощью векторных диаграмм *) (рис. 4), получим: $i_1 + i_2 + i_3 = 0$. Поэтому, если провода $X$, $Y$ и $Z$ объединить в один провод (как на рисунке 36), то сила ток в нем будет равна нулю! Именно так и передается ток от трехфазных генераторов — по тем линиям $A$, $B$, $C$ и по нульному проводу 0. При симметричной нагрузке (как выше) нульовой провод не нужно, но если фрагзка не симметрина, как, например, в осветительной сети в домах (рис. 5), то в нульом проводе возникнет небольшой «компенсационный» ток.

Главное преимущество, которое дает трехфазная система токов, заключается в простоте электрических двигателей трехфазного тока,ринципи действия которых мы сейчас рассмотрим.

2. Электродвигатели переменного тока

Пусть по обмотке $L$ течение переменный ток частоты $\omega$. Тогда он создает переменное магнитное поле, которое вызizes оси обмотки $L$ (рис. 6) приблизительно однородно и направлено вдоль $n$, причем индукция поля также меняется по гармоничскому закону, так что можно записать вектор индукции в виде

$$\vec{B} = B \cos \omega t \cdot \vec{n}.$$

Если помещить около оси $n$ замкнутую металлическую рамку $K$ с осью вращения, перpendикулярной $n$ (рис. 6), то в рамках возникнет индукционный ток, и на нее будет действовать силы Ампера («Физика 9», п. 120),

*) См. «Физика 10», § 26; «Алгебра и начала анализа 10», п. 82, упр. 69—70; «Квант», 1976, № 11, ст. «Сложение гармоничских колебаний».

36

направленные перпендикулярно направленного тока и вектору $\vec{B}$. Эти силы создают врашаюший момент, поворачивающий рамку около ее оси. Однако в положении, когда рамка перпендикулярна оси $n$, этот врашаюший момент равен нулю; чтобы врашение началось, необходимо вывести рамку из этого положения — воспользуйтесь расчетным рамка будет проходит это положение по инерции, хотя и неравномерно, но будет врашаться. Таков принципи работы электродвигателя однофазного переменного тока.

Оказывается, если подключит трехфазный ток к тем обмоткам, расположенным под углом $120^\circ$ одна к другой, как показано на рисунке 7, то магнитное поле влизывает 0 пересечения осей симметрины обмоток постоянного по величине и будет равномерно, врашаться с угловой скоростью $\omega$.

Чтобы обосновать это, найдем сумму $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3$ векторов магнитной индукции, создаваемых токами в обмотках $AX, BY, CZ$:

$$\vec{B}_1 = B \cos \omega t \cdot \vec{n}_1,$$
$$\vec{B}_2 = B \cos \left( \omega t + \frac{2\pi}{3} \right) \cdot \vec{n}_2,$$
$$\vec{B}_3 = B \cos \left( \omega t + \frac{4\pi}{3} \right) \cdot \vec{n}_3,$$

где $\vec{n}_i$ — соответствующее единичные нормали. Введем на плоскости, проходящий через оси обмоток, системы координат, направив ось $Ox$ вдоль вектора $\vec{n}_1$; координаты векторов $\vec{n}_2$ в этой системе будут (см. рис. 8)

$$\vec{n}_1 = (1; 0),$$
$$\vec{n}_2 = \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right),$$
$$\vec{n}_3 = \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right).$$

Используя формулы для векторов $\vec{B}_i$, отсюда находится суммы $\vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3 = \vec{B}$:

$$B_x = B \cos \omega t - \frac{1}{2} B \cos \left( \omega t + \frac{2\pi}{3} \right) - \frac{1}{2} B \cos \left( \omega t + \frac{4\pi}{3} \right),$$