Линейные и нелинейные физические системы

2

Линейные и нелинейные физические системы

Явления, произходящие в физических системах, количественно описываются уравнениями, выражаютсями функциональные зависимости между различными физическими величиными. Характер этих зависимостей может быть самим разнообразным. Значительное группу среди них составляют линейные зависимости типа $y=f(x)=ax+b$, где $a$ и $b$ считаются постоянными. Очень часто соответствующим подбором системы отчета, системы координат или начальных условий зависимость такого вида можно свести к прямой пропорциональнойности.

Приверов прямой пропорциональной зависимости физических величины очень много. Так связаны между собой модель силы упругости и величины деформации: $|\vec{F}|=kx$; заряд конденсатора и напряжение на нем: $q=CU$; напряжение на концах проводника и сила тока, кущero по проводнику: $U=RI$; поток магнитной индукции, произзывающий контур, и сила тока в контуре $\Phi=LI$ и т. д. Коэффициенты пропорциональнойности в этих формулах — жесткость $k$, емкость $C$, сопротивление $R$, индуктивность $L$ — постоянные величины, которые характеризуют свойства данной системы.

Когда свойства физической системы (например, сопротивление цепи) не зависит от ее состояния (от тока, текущого по цепи), говорят, что система линейна. В линейных системах соблюдается принцип суперполизии: в результате нескольких одновременных воздействий система приходит в такое же состояние, как если эти воздействия следовали порознь одно за другим. Иными словами, результат какого-либо одного воздействия в присутствии другого (или других) оказывается таким же, как если это другое воздействие отсутствовало. Так, например, если в результате действия груза массы $m_1$ удлининие пружины равно $x_1$, а в результате действия груза массы $m_2$ удлининие равно $x_2$, то подвешенные к пружине оба груза $(m_1+m_2)$ вызовут удлининие $x_1+x_2$.

На рисунке 1 приведены графики зависимости padения напряжения на резисторе с постоянным сопротивлением от тока (вольтметрная характеристика резистора, рис. 1, а), заряда конденсатора с постоянной емкостью от напряжения на его пластинах (кулонволная характеристика конденсатора, рис. 1, б), потока магнитной индукции через контур с

3

постоянной индуктивностью от тока (вберамперная характеристика катушки, рис. 1, $\theta$). Это — прямы линии; угол наклона каждой из них к оси абсцисс определяется, соответственно, величины $R$, $C$ или $L$.

Нетрудно найти, что $R=U_I/I=tg\alpha$, $C=q_U/U=tg\beta$, $L=\Phi_I/I=tg\gamma$. Элементы физических систем, характеристики которых задаются графическими прямыми линиими, часто называют линейными.

Однако мы знаем, что многое постоянные характеристики физических систем остаются действительным постоянными лишь в определенных условиях — при определенных ограничениях на величины воздействия. Так, коэффициент жесткости пружины $k$ постоянен лишь при необходимости электрического поля, создаваемого зарядами пластин, то емкость такого конденсатора уже не есть постоянная величины. И индуктивность катушки может зависят от тока, текущего по обмотке, если сердечник сделан из ферромагнетика — материла, магнитная пропиществом которого зависят от индуктивности магнитного поля, создаваемого током, текущим по обмотке.

Характеристики таких элементов уже не линейные; поэтому подобные элементы называют нелинейными, а содержащие их системы — нелинейными системы. Таким образом, нелинейные системы — это системы, свойства которых (например, сопротивление цепи) зависят от состояния системы (от тока, текущего по цепи).

Как «появляется» эта нелинейность, проше всего понять из такого примера. При значительных деформациях закон Гука, как известно, нарушается; величины жесткости $k$ начинает зависят от величины смесения. В тех пределах, когда смесение не намного превышает «упругое»

(то максимальное смесение, которое приводит еще к упругим деформациям), эту завиисимость можно с хорошим приближением записать в виде $k=ax+b$. тогда сила упругости оказывается связанной с величиной смесения соответствием $|\vec{F}|=(ax+b)x=ax^2+bx$, то есть явно нелинейной завиисимости.

Расчет электрических цепей, содержащих нелинейные элементы, чаще всего производится графическим способом. Разберем в качестве примера такую простую задачу. На рисунке 2 приведена схема нелинейной системы, содержащей диод и лампу накаливания, волтамперные характеристики которых заданы на рисунке 3. Цепь подключена к источнику постоянного напряжения $U=2B$. Какова сила тока в цепи?

Поскольку лампа и диод соединены последовательно, при данном значении тока в цепи padreне напряженная на ее концах равно сумме padreни напряжений на диode и на лампе. Воспользовавшись этим, построим волтамперную характеристику всей цепи (черная линия на рисунке 3). Теперь легко найти, что при $U=2$ В сила тока равна 0,13 А.

4

Нелинейные электрические и магнитные системы находят широкое применение в технике. Генераторы независимых колебаний, модуляторы и детекторы колебаний, преобразовательы частоты и т. п. — устройства, прициппальное осуществление только на нелинейных элементах.

Поясним, например, необходимость нелинейных элементов для осуществления амплитудной модуляции колебаний. Как известно, при амплитудной модуляции амплитуда высокочастотных колебаний должна изменяться в соответствии с изменением величины напряжения полезного сигнала, например, сигнала звуковой частоты. Независимо от конкретной схемы, деталей, из которых она состоит, модулятор можно представить как некий нелинейный резистор — резистор, сопротивление которого зависит от напряжения управления (полезного) сигнала: с уменьшением этого напряжения сопротивление нарастает. Если резистор подключен к источнику переменного напряжения высокой (несущей) частоты, то колебания тока в резисторе повторяют колебания «сигнала» от источника (рис. 4, а). Если теперь на резистор подавать дополнительное переменное напряжение низкой частоты (полезный сигнал), то сопротивление резистора начинает «колебаться» с той же низкой частотой (рис. 4, б), и в результате этого амплитуда колебаний тока в резисторе будет увеличивать при уменьшении сопротивления и уменьшаться при его увеличении. Иными словами, амплитуда колебаний несущей частоты будет в свою очередь «колебаться», следуя изменению величины полезного сигнала (рис. 4, с).

Ясно, что линейный резistor не обеспечил бы модуляции высокочастотных колебаний: в том же режиме, который мы описали, результирующие колебания тока в резисторе представляли бы собой суперпозицию высокочастотных и низкочастотных колебаний, и амплитуда высокочастотных колебаний оставалась бы неизменной (рис. 5).

В Задачнике «Кванта» в этом номере журнала помещена задача Ф546. Схема, которая приведена в этой за-

5

далее, это принципиальная схема устройства магнитного усилителя. Магнитные усилители — еще один пример применения нелинейных элементов в технике. Задча Ф546 довольно трудная. Мы облегчим читателю ее решение следующей подсказкой: в магнитных усилителях «работает» нелинейная зависимость индуктивности катушки с ферромагнитным сердечником от тока.

В заключение следует отметить, что, строго говоря, все физические системы являются нелинейными, если предель изменения их состояния не ограничены. Это мы видели в механических системах — при больших деформациях, в электромагнитных — при больших токах (напряжениях). Однако нередко даже в области малых изменений состояния системы ее приходится рассматривать как нелинейную. Так, сила сухого трения изменяется скачком при изменении знака скорости, сила тока в проводниках с односторонней проводимость изменяется нелинейно при изменении знака напряжения.

Уражнения

1. На горизонтальной плоскости находится ящик массой $m=10$ кг. Максимальная сила трения покоя $|\vec{f}|=35$ Н. Ящик могут действовать две взаимно перpendicularные силы $|\vec{F}_1|=30$ Н и $|\vec{F}_2|=40$ Н, лежащие в горизонтальной плоскости. Опишите движение ящика в случае, когда на него действуют: а) только сила $\vec{F}_1$; б) только сила $\vec{F}_2$; в) обе силы одновременно.

2. Лампа и диод, волтамперные характерские которых приведены на рисунке 3, соединены параллельно. Ток в неразветвленной части цепи $I=0,15$ А. Определите графические точки в ламфе $I_\pi$ и в диode $I_\pi$.

3. Резистор с сопротивлением 6 Ом и нелинейное сопротивление, волтамперная характерская которого описывается зависимость $U=2\sqrt{I}$, соединены последовательно и подключены к источнику напряжения $U=4$ В. Расчитайте без построения графиков силы тока в цепи.

Рис. 5.