54
Царство смекалки
В этом году в издательстве «Наука» была переиздана одна из старых и очень хороших русских популярных книг по математике, по которой учились и которую любили наши деды — книга преподавателя гимназии Е. И. Игнатева «В царстве смекалки».
Е. И. Игнатева по праву можно назвать класском занимаемого математического жанра. В своей книге, первое издание которой вышло в 1908 году, он собрал большое количество разнообразных задач на сообщательность по аргументике и геометрии. Второе издание книги появилось в 1911 году. С тех пор эта книга не переиздавалась. Особенно книги были ее литературный стиль, языком автора. Конечно, для настоящего издания неоторая трансформация задачи и их условия была необходима. Однако, все же хотелось бы, чтобы классков переиздавали более бережно — иначе неизбежна утрата аромата времени.
За 70 лет популярия математической литература, изданная на русском языке, сильно обогатилась, и теперь многое задачи из книги Игнатева широко известны. Тем не менее эта книга, несомненно, представляет большой интерес и сейчас — и не только исторический.
О целях книги, о том, как надо изучать математике и как надо учить математике, о роли задачи на смекалку очень хорошо рассказал книг Игнатев в своих «Предисловиях» к первому и второму изданям книги. Ниже публикуются отрывки из них.
«Станет ли кто в нашей время отрицать настоящего необходимость самого широко распространения и популяризации математических знаний? Первоначальные математические познания должны входить с самых ранних лет в нашей образование и воспитание. Само собой разумется при этом, что умственную самодеятельность, собращительность и «смекалку» нельзя ни «вдольить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в легкой и приятной форме, на предметах и примерах обдененной и повседневной обстановки, подбранных с надлежащим остройием и занимаемым остройием.
Относительно математики в нашей обществе до них пор существуют самые страные предсказчики. Один говорят, что занимается математикой могут только исключающие, одаренные совсем особыми способностями умы, другие утверждают, что для этого необходима особая, так сказаить, «математическая память» для заполнения формул и т. д.
Нельзя, конечно, спорить против того, что существуют умы с резко выраженными склонностями к той или иной стороне умственного деятельности. Но точно так же икоим образом нельзя утверждать, что существуют хотяому условию необходимых математических знаний, хотя бы, скажем, в размерах курса средней школи.
Будем справедливыми и признаем, наконец, что выражение «неспособен к математике» есть преждеевого неуменения, а, пожалуй, иногда и легкомысленого нежелания поставить в семье и школе преподавание математики на должную высоту.
Еще менее можно говорить о необходимости для математики какой-то особой, специальной памяти для заполнения (зарубивания?) каких-то формул или правил, научку сознатьной и последовательной логической мысли обращать в какой-то механический, бессознательный процесс. А между тем, как далеко может заходить дело в этом отношении, свидетельствует известный русский математик В. П. Ермаков. Вот что, между прочим, сообщал он в одном из своих докладов Киевскому физико-mатематическому обществу.
«Когда мне пришлось студентам читать интервалное исчисление, то в первый же год произошел эпизод, который нассгда сохранился в моей памяти.
Прочитавши часть теории, я для посянения даю задачи. Я прошу студентов решать задачи в тердрах. По мере решения я пишу полученные результаты на доске. Однако для посянения способов понимания биоминальных интервалов я написал на доске подхождения задачу. И вот в жизни, что некоторые студенты вынимают из карманов какие-то тердрами и смотрят в них.
— Что это?
— Общие формулы.
— Зачем?
— Нам预先 проессор советовал иметь списк обших формул и по нему решать частные примеры. Ведь не станете же вы требовать, чтобы мы заучили на память все сок обших формул.
— Зачучать в математике никаких формул не следует. Но я нахожу также неуместным пользованием пособиями и нахождение интервалов по общим формулам подстановкой в них данных значений показателей и коэффициентов. Ведь не с неба свалились к нам общие формулы; для вывода их вы употребили ряд рассудений; применяйте те же рассудения к частным примерам.
Таким образом оказалось возможность интегралы и без общих формул. Пришлось, впрочем, неоторные выкладки видонзменить так, чтобы они неосредственно могли быть приложены к частным примерам.
Получалась еще и та выгода, что на каждом частином примере студенты повторяли все те же рассуждания, которые необходимы для вывода общей формулы. От частого повторения прибретался навик, и в результате — быстрота решения задач.
Этот эпизод заставил меня глубже вникнуть в существ математики.
В молодых летах и образал все внимание на конечные результаты. Разбирая какое-нибудь доказательство, я заботился только о том, чтобы убедиться в его строости. Вот добавляя до окончательного результата, и довольно! Дальше я старался помнить окончательные выводы, весь же процесс доказательства быстро испарился. Но потом забывались и формулы, а часто эти формулы оказались необходимыми при дальнейших занятиях. Что же оставалось делать? Собирать библиотеку из справочных книг? Но на это не хватало средств, да и не было помещения для библиотек. Поневоле приходилось при помощи самых процесс, при помощи которого выводалась та или иная формула. Таким образом, вместе формул, мало-помалу я пришел к самим доказательством. Оказалось, что легче при помощи процесс математического мышления, чем только формулы. Да и нет надобности помнить целиком весь процесс мышления, достаточно наметь этапные пункты, по которым должны идти нашы мысы. И вот уже несколько лет, как я тверджу своим случаем служатям: в математике следуем помнить не формулы, а процесс мышления. […]
Если выражен процесс математического мышления, то получение самых формул является уже делом чисто механическим.
В механизме же алгебраических действия ученики должны приобретти навики еще в средней школе.
Я пришел к тому убежданию, что указанный много приицил должен быть применен и в средней школе…»
Продолжим мысль В. П. Ermakова и скажем: указывай принцип должен в особенности лечь в основание наально — как семейного, так и школьного — образование в области математических знаний. Не натаскивайте ни ребят, ни юношей на различных «табличках» сложения, вычитания, умножения, на механическом заполнении разных «правил» и формул, а прежде всего приучайте охотно и сознатьлено мышить. Остальные приложения. Неучьте никакого линейщика скучнейшим и механическими вычислениями и упражнениями.
Когда они понадобятся кому-либо в жизни, онprodела сам, — да на это ныче есть всякие счетные машины, таблицы и иные приспособления.
Пытаясь перенести читателя в «царство смекалки», мы, конечно, не обольщем себя надежной, что смогли показать ему это царство во всей его прелести и полное. Для этого понадобилась бы не одна такая книга: так велика и община область только тех отделов математики, которые можно подвести под общее заглавие «математических игра и развлечений»
Чтобы читатели смогли нестандартный характер книги, мы публикуем из нее две задачи вместе с решениями самого Игнатьева.
- Как гусь с аистом задачу решали
Летела ста гусь, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуй, сто гусей!» А передний старый гусь ему и ответает: «Нет, нас не сто гусей!» Bot, если б нас было еще столько, да еще
полстолько, да еще четверть столько, да ты, гусь, то было бы сто гусей, а теперь… Вот и рассчитайка, сколько нас?»
Решен и ее. Полегел одинокий гусь дальше и задумался. В самом деле, сколько же товаршей гусе он встретил? Думал он, думал и с какой стороны ни принимался, накак не мог этой задачи решить. Bot увидел гусь на берегу труда анста: ходит длинойогий и лягушек щетет. Аист — птица важная и пользовется средним других птицом слабой математика: по цельм часам иногда неподвижно на одной ноге стонт и все думает, видно, задачи решает. Обравался гусь, слетел в рук, подпил к ансту и рассказаел ему, как он стаю товаршей встретил и какую ему гусь-вожак загадку задал, а он накак этой задачи решить не может.
— Гм!… — откашлялся анст, — попробуем решить. Только будь внимание и страйся понять. Сыщшшь?
— Слушаю и постараюсь! — ответил гусь.
— Ну вот. Как тебе сказали? Если бы встречным гуsem прибавить еще столько, да еще полстолько, да тебя, гуся, то было бы сто? Так?
— Так! — ответил гусь.
— Тепер смотри, — сказал анст. — Вот что я тебе начерчу здесь на прибрежном песке.
Аист согласил шею и клювом провел черту, рядом такую же черту, потом повинуту такой же черту, затем четверть черту, да еще маленькую черту, почти точку.
Получилось то, что показано на рисунке 1.
Рис. 1.
Гусь подпил к самом берегу, вышел, переваляясь, на песок, посмотрел, но ничего не понял.
— Поннимаешь? — спросил акт.
56
— Нет еще! — ответил уныло гусь.
— Эх, ты! Ну, вот смотри: как тебе сказали, — стая, да еще стая, да повина стан, да четверть стан, да ты, гусь, — так я и нарисовал: черту, да еще черту, да полчеры, да четверь этой черты, да еще маленьky точку, т. е. тебя. Понял?
— Понял! — весело проговорил гусь.
— Если к встреченной товае прибавить еще стаю, да полстан, да четверть стан, да тебя, гуся, то сколько получится?
— Сто гусей!
— А без тебя сколько, значит, будет?
— Девяносто девять.
— Хорошо! Откинем на нашем чертеже точку, изобразяющий тебя, гуся, и обозначим, что остается 99 гусей.
Аист носом изобразил на песке то, что показано на рисунке 2.
Рис. 2.
— Теперь сообщила, — продолжал аист, — четверть стан да полстан — сколько это будет четвертей?
Гусь задумался, посмотрел на линии на песке и сказал:
— Линия, изобразяющая полстан, вдвое больше, чем линяя четвертей стан, т. е. в положине заключится две чертеги. Значит, половина да четверть стан — это все равно, что три чертеги стан!
— Молодец! — похваслил гуся аист. — Ну, а в целой стеcke сколько четвертей?
— Конечно, четыре! — ответил гусь.
— Так! Но мы имеем здесь стаю, да еще стаю, да полстан, да четверть стан, и это составит 99 гусей. Значит, если перевести все на чертеги, то сколько всех чертегей будет?
Гусь подумал и ответил — Стая — это все равно что 4 чертеги стан, да еще стая — еще 4 чертеги стан, всего 8 чертегей; да в положине стан 2 чертегей: всего 10 чертегей;
да еще четвертей стан: всего 11 чертегей стан, и это составит 99 гусей.
Так! — сказал аист. — Теперь сказал, что же ты, в конце концов, получил?
— Я получил, — ответил гусь, — что в одинаковатей чертегях встреченной много стан заключится 99 гусей.
— А, значит, в одной чертегии стан сколько гусей?
Гусь поделил 99 на 11 и ответил:
— В чертегии стан — 9 гусей.
— Ну, а в целой стеcke сколько?
— В целой заключится чертегии… Я встречил 36 гусей — радостно восплenkул гусь.
Вот то-то и оно! — важно промолвил аист. — Сам, небось, не мог дойти!…
Эх, ты… гусь!
- Крестьянн и черт
Идем крестьянн и плаемся: «Эхма! Жизнь могоркая! Заела нужда совсем! Вом в кармане молоко несколько грошей медных болмаемся, да и ме сейчас нужно отдать. И как это у других бываем, что на всяке свои деньги они еще деньги получают? Право, хомь бы кто помочь захомел».
Только успел это сказы, как слядь, а перед ним чертегом стоим.
— Что же, — говорим, — если хочешь, я мебе помоду. И это совсем нерудно. Вом видшь этом мест чертегей?
— Визку! — говорим крестьянн, а сам заробел.
— Ну, так стоим мебе перейти молоко чертегом — у мебе будем ввое больше денег, чем есть. Перейдешь назад, опять стане ввое больше, чем было. И каждый раз, как мы будем переходим мест, у мебе будем ввое больше денег, чем было до этого перехода.
— Ой ли? — говорим крестьянн.
— Верное слово! — уведомем черт. — Только, чур, уведом! За мо, что я мебе удаваю деньги, мы
каждый раз, перейда через мест, отдавай мне по 24 конецки, Иначе не созласен.
— Ну, что же, этооворит крестьянн. — Раз день все будум удаваимся, мак омецо же 24 конецки мебе каждый раз не дать? Нука, попробуем!
Перецел он через мест один раз, посчитал деньги. Действительно, стало ввое больше. Бросил он 24 конецки черту и перешел через мест второй раз. Ониденец стало ввое больше, чем перед этим. Отсчитал он 24 конецки, отдал черту и перешел через мест третьий раз. Денеденец стало ввое больше. Но молоко и оказалось их рознеженью 24 конецки, который по уведому он должен был отдать церту. Отдал он их и остался без конецки.
Сколько же у крестьянна было денеж сначала?
Решене. Задча разрешается очень легко, если только решение ее начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянна оказалось равно 24 коп., которые он должен был отдать.
В самом деле, если после последнего перехода у крестьянна оказалось равно 24 коп., то, значит, переед эти переходом у него было 12 коп. Но эти 12 коп. получились после того, как он отдал 24 коп., значит, всего денет у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый раз перешел мест и отдал 24 коп. Значит, всего после первого перехода у него было 18 да 24 коп., т. е. 42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как перейзавать на мест, крестьянн имел в кармане 21 коп. собственных денег.
Прогадал крестьянн! Видно, что на чужой с твсегда надо еще свой ум иметь.
Ю. Юшина