Bằng cấp cao

13

Trong bài viết này chúng ta sẽ so sánh các con số với nhau. Câu hỏi thường trực sẽ là: số nào lớn hơn? Có thể một số bạn đang nghĩ: “Có việc gì phải đương đầu! Ai cũng rõ mười lớn hơn năm, một trăm nhỏ hơn một nghìn.” Chà, sau khi đọc ghi chú này, bạn có thể sẽ đồng ý rằng đáp số câu hỏi này có thể rất, rất không thể tha thứ được.

Hãy bắt đầu với điều này bài toán.

Bài toán 1. Số nào lớn hơn: $2^{3100}$ hay $3^{2100}$?

Lời giải. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $2^{3100} > 3^{2100}$. Thật vậy, $2^{3100} = 4^{\frac{3}{2}}$. Vì vậy, chỉ cần chứng minh rằng $\frac{3}{2} > 2^{100}$ hoặc $(\frac{3}{2})^{100} > 2$ là đủ. Nhưng đã $(\frac{3}{2})^2 > 2$, nên $(\frac{3}{2})^{100}$ thậm chí còn lớn hơn 2. Từ lời giải của chúng tôi rõ ràng là $2^{32} > 3^{22}$. Từ thực tế này (không khó để xác minh và trực tiếp) có thể dễ dàng suy ra một lời giải bài toán khác.

bài toán tiếp theo khó hơn một chút.

Bài toán 2. Số nào lớn hơn: $5^{10} + 6^{10}$ hay $7^{10}$?

Đầu tiên là lời giải. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $5^{10} + 6^{10} < 7^{10}$. Vì $5^{10} + 6^{10} < 2 \cdot 6^{10}$, đủ để chứng minh rằng $(\frac{7}{6})^{10} > 2$. Sau đó, bất đẳng thức rút ra từ bất đẳng thức Bernulin (“Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9”, đoạn 2):

$$\left(\frac{7}{6}\right)^{10} = \left(1 + \frac{1}{6}\right)^{10} > 1 + 10 \cdot \frac{1}{6} > 2.$$

Thứ hai lời giải. Lưu ý rằng $5^3 + 6^3 = 341 < 343 = 7^3$.

Vì vậy $\left(\frac{5}{7}\right)^3 + \left(\frac{6}{7}\right)^3 < 1$. Vì $\left(\frac{5}{7}\right)^{10} < \left(\frac{5}{7}\right)^3$ và $\left(\frac{6}{7}\right)^{10} < \left(\frac{6}{7}\right)^3$; chúng tôi nhận được $\left(\frac{5}{7}\right)^{10} + \left(\frac{6}{7}\right)^{10} < 1$. Vì vậy, $5^{10} + 6^{10} < 7^{10}$.

Bài toán 3. Trong mười số $1^{10}, 2^9, 3^8, 4^7, 5^6, 6^5, 7^4, 8^3, 9^2, 10^1$ số nào lớn nhất?

Lời giải. Rõ ràng là $2^9 > 1^{10}$. Hãy chứng minh rằng $3^8$ lớn hơn $2^9$. Thật vậy, $3^8 = 9^4 > 8^4 = 2^{12} > 2^9$. Bây giờ hãy so sánh $4^7$ và $3^8$: $4^7 > 3^8 \Rightarrow \left(\frac{4}{3}\right)^7 > 3$. Vẫn cần lưu ý rằng $\left(\frac{4}{3}\right)^7 = \left(1 + \frac{1}{3}\right)^7 > 1. + 7 \cdot \frac{1}{3} > 3$.

Vậy, trong bốn số đầu tiên, số lớn nhất là $4^7$.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng $4^7 > 5^6 > 6^5 > 7^4 > 8^3 > 9^2 > 10^1$. Từ $4^7 > 5^6 \Leftrightarrow \left(\frac{5}{4}\right)^6 < 4$ và $\left(\frac{5}{4}\right)^6 = \left(\frac{125}{64}\right)^2 < 2^2 = 4$ nó theo sau $4^7 > 5^6$.

Bất đẳng thức $5^6 > 6^5$ và $6^5 > 7^4$ được chứng minh theo cách tương tự.

Sự bất bình đẳng $7^4 > 8^3 > 9^2 > 10^1$ rất dễ thấy.

Vì vậy, nhiều nhất trong số đó, chúng tôi sẽ một lần nữa quay trở lại bài toán này và đưa ra lời giải ít “tính toán” hơn.

Bài toán 4. Số nào lớn hơn: $1^n + 2^n + 3^n + \dots + 9^n$ hay $10^n$?

Lời giải. Dễ dàng nhận thấy rằng đối với $n$ $1^n + 2^n + \dots + 9^n$ nhỏ thì lớn hơn $10^n$. Thật vậy, $1 + 2 + \dots + 9 > 10$; $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 9^2 > 10^2$; $1^3 + 2^3 + \dots + 9^3 > 9^3 + 8^3 = 729 + 512 > 1000 = 10^3$.

Trước khi xem xét các giá trị khác của $n$, chúng tôi lưu ý rằng nếu đối với một số $n$ $1^n + 2^n + \dots + 9^n < 10^n$, thì đối với tất cả $m > n$ thậm chí còn hơn thế nữa $1^m + 2^m + \dots + 9^m < 10^m$. Thật vậy, khi chuyển sang giá trị lớn hơn,