Không chỉ là một món đồ chơi

21

Không chỉ là một món đồ chơi

Có lẽ, giống như hầu hết độc giả «Kvant», bạn đã ngừng chơi đồ chơi trẻ em. Tuy nhiên, chúng tôi khuyên bạn nên mày mò… với hàm tạo *). Đồ chơi được đề cập bao gồm các tấm hình chữ nhật dẻo giống hệt nhau; có các lỗ ở hai góc đối diện của mỗi góc và có ghim ở hai góc còn lại (Hình 1), cho phép bạn kết nối các tấm với nhau. Trong tay của một người đam mê toán học, bộ xây dựng này trở thành một công cụ tuyệt vời để lắp ráp các mô hình bề mặt.

Chúng ta hãy đặt p và q tùy ý ( ≥ 3) và bắt đầu kết nối các phần, chỉ chú ý sao cho các cạnh của chúng liên kết với các q-giác (chúng ta sẽ gọi những q-giác này, mặc dù điều này hơi khó hiểu, là các đỉnh) và các cạnh dài tạo thành p-giác (chúng ta sẽ gọi là các mặt p-giác và bản thân các bộ phận đó - các cạnh). Các công trình thu được theo cách này được gọi là modics.

Một ví dụ về kết nối như vậy với p=6, q=3 được hiển thị trong Hình 2. Với các giá trị <p, q> bằng <6, 3>, <3, 6>, <4, 4> (Hình 2-4), chúng ta thu được phần lấp đầy của mặt phẳng bằng các p-giác đều, tại đó q mặt hội tụ tại mỗi đỉnh. Cho đến nay chúng tôi chỉ nhận được mod phẳng *). Tại

*) Bộ xây dựng này được sản xuất tại Belarus và Estonia và được bán trong các cửa hàng đồ chơi trẻ em ở các thành phố lớn.

**) Những mod này là sàn gỗ chính xác («Kvant», 1979, Số 2, trang 9).

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

các modic p và q khác đi vào không gian. Nếu chúng tôi thu thập các mod loại <5, 3>, <3, 4>, <3, 5>, <4, 3> và <3, 3>, chúng tôi sẽ nhận được các mô hình khung “thổi phồng” của các khối đa diện đều: khối tám mặt dodecadron, khối icosadron (Hình 5), khối lập phương và tứ diện (thông thường), (§ 54 “Hình học 10”). Những mod này được gọi là hình cầu.

Lấy <p, q>=<3, 7> (hình ở trang 4 của bìa). Trong quá trình lắp ráp, chúng ta sẽ thấy cấu trúc “không muốn phẳng”, nhưng cũng không tròn như mô hình hình cầu: bề mặt thu được được uốn cong sao cho mỗi phần có hình dạng giống dấu vết. Trong trường hợp này, về nguyên tắc, chúng ta có thể tiếp tục xây dựng không giới hạn (không giống như hình cầu, nhưng giống như một người hầu phẳng); Đúng vậy, sớm hay muộn cấu trúc sẽ uốn cong đến mức va vào chính nó và chỉ có thể lắp ráp thêm nếu cho phép tự giao cắt.

Bề mặt P, một phần mà chúng ta đã làm chậm lại, được gọi là hình cầu giả. Hóa ra nếu khoảng cách giữa hai điểm A, B ∈ P là khoảng cách giữa chúng, thay đổi trong một bề mặt này, thì các tiên đề của hình học Lobachevsky sẽ được thỏa mãn trên P. Do đó, chúng ta có thể nói rằng toàn cầu là một mô hình của mặt phẳng Lobachevsky. Modica <3, 7> là một trong những loại sàn gỗ đơn giản nhất trên đó.

Một đặc tính tuyệt vời khác của mô hình này: nó có thể được tạo ra để tự trượt mà thực tế không làm biến dạng các cạnh và bất kỳ đỉnh nào cũng có thể được chuyển sang bất kỳ đỉnh nào khác! Nói cách khác, modica của chúng tôi cho phép tự kết hợp. Một đặc tính tương tự rất thuận tiện cho các phép điều chỉnh mặt phẳng và hình cầu: sự tự sắp xếp của chúng chỉ đơn giản là các chuyển vị của mặt phẳng và theo đó là các chuyển động quay của hình cầu. Ví dụ: hình xuyến ở trang đầu tiên của trang bìa không có đặc tính này.

Để kết luận, chúng tôi đề xuất bài toán sau: chứng minh rằng modic phẳng đặc trưng cho các điều kiện (p-2)(q-2)=4 và modic hình cầu đặc trưng cho các điều kiện (p-2)(q-2)<4 và liệt kê tất cả modic thuộc các loại này.

V. Dubrovsky