Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

47

3. Cơ sở của các tham số là một hình tam giác đều. Hai mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác của mặt tạo thành một góc α với mặt phẳng đáy. Chiều cao của mặt lớn nhất bằng h. Tìm bề mặt bên của nó.

4. Khám phá hàm $y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5$ để biết mức tối đa và tối thiểu.

5. Các vectơ $\overrightarrow{AB} = (3; -2; 2)$ và $\overrightarrow{BC} = (-1; 0; -2)$ là các cạnh kề nhau của hình bình hành. Xác định góc ngoài giữa các đường chéo $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ của nó.

Tùy chọn 2

1. Chứng minh quan điểm
   $$\frac{2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{2(\cos \alpha + \cos 3\alpha)} = \cos \alpha \cdot \mathrm{tg} 2\alpha.$$

2. Giải phương trình
   $$3^{1+x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7.$$

3. Góc giữa hai đường chéo đáy của hình bình hành hình chữ nhật bằng α. Đường chéo của hình bình hành bằng l và tạo một góc β với mặt phẳng đáy. Tìm thể tích của hình bình hành.

4. Tìm thấy
   $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}.$$

5. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi các đường $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x, x - 2y + 2 = 0, x = 2$.

Vật lý

Bài toán thi vấn đáp

1. Một ống trụ thủy tinh có đường kính $D = 3$ cm chứa đầy $V = 5$ lít dầu ở nhiệt độ $t = 20^\circ C$. Chiều cao của cột dầu ở $t_1 = 30^\circ C$ sẽ là bao nhiêu? Hệ số giãn nở tuyến tính của ống khói là $\beta = 9.10^{-6} K^{-1}$, hệ số giãn nở thể tích của dầu là $\alpha = 10,18 \cdot 10^{-4} K^{-1}$.

2. Có thủy ngân trong các mạch thông tin; đường kính của bình này gấp 4 lần đường kính của bình kia. Đổ nước vào một chiếc bình hẹp; chiều cao của cột nước là $h = 80$ cm. Mức thủy ngân sẽ giảm bao nhiêu trong một bình hẹp và nó sẽ tăng bao nhiêu trong srikom? Mật độ của nước là $\rho_B = 1 \text{ г/cm}^3$, mật độ của thủy ngân là $\rho_{pT} = 13,6 \text{ г/cm}^3$.

3. Một nửa khối lượng khí thoát ra khỏi xi lanh và nhiệt độ khí giảm từ $t_1 = 27^\circ C$ xuống $t_2 = -73^\circ C$. Áp suất trong xi lanh giảm bao nhiêu lần?

4. Trong phòng có thể tích $V = 100 \text{ m}^3$, nhiệt độ không khí đã giảm từ $t_1 = 25^\circ C$ xuống $t_2 = 15^\circ C$. Bao nhiêu hơi nước ngưng tụ trong trường hợp này nếu độ ẩm tuyệt đối của hơi bão hòa ở 25°C là $23 \text{ г/m}^3$, và ở 15°C – $\rho_2 = 12,8 \text{ г/m}^3$. Độ ẩm tương đối là $r_1 = 90\%$.

L. Milovanava

Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

Bạn có thể đọc thêm về viện này trong «Kvant», 1978, số 6.

Matematika

Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$6 \sin^2 x + 5 \cos x - 7 = 0.$$

2. Điểm $A(1; 0), B(0; 1)$ và $C(5; 5)$ được cho trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích của tam giác $ABC$ và cho biết tất cả các chuyển vị của mặt phẳng mà tại đó nó biến thành chính nó.

3. Viết ba số hạng đầu tiên của dãy bằng một số hạng chung
   $$x_n = A_n^3 + 2C_n^3.$$

Những số nào sau đây là thành viên của dãy này: 546, 548, 1978$^{1978}$?

4. Tìm các khoảng đơn trị và các điểm cực trị của hàm số cho bởi đẳng thức
   $$f(x) = 2 \ln (x - 2) - x^2 + 4x + 1.$$
   Xây dựng đồ thị của hàm số này.

5. Giải phương trình
   $$f(x) = -f(-|x|),$$
   ở đâu $f(x) = \ln \left(\sqrt{9 \mathrm{tg}^2 x + 1} - 3 \mathrm{tg} x\right)$.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\log_2 \left(\frac{\sqrt{14}}{4} + \cos x\right) + \log_2 \left(\frac{\sqrt{14}}{4} - \cos x\right) = -3.$$

2. Tìm ảnh của điểm $A(2; 7)$ khi quay mặt phẳng tọa độ quanh điểm $M(2; 3)$ một góc $-\frac{\pi}{2}$. Tìm hình ảnh của một điểm khác (bạn chọn). Tìm hình ảnh của điểm $C(-4; 8)$ dưới góc quay này.

3. Kiểm tra xem số nào lớn hơn: $C_{11}^6$ hoặc $C_{11}^3 + C_{11}^4$ và tìm tất cả các giá trị của $n$ mà $C_n^6 < C_n^3 + C_n^4$.

4. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm
   $$f(x) = e^{2x-1} + 2e^{1-2x} + 7x - 3$$
   trên đoạn [0,14; 1].

5. Chúng ta hãy cô lập số $a$ hoisimm nếu với mọi $x$ bất đẳng thức
   $$\frac{2x^2 + 2x + 3}{x^2 + x + 1} \leq a.$$

48

a) Chứng minh rằng số 4 là số tốt.
6) Tìm tất cả các số tốt.

Tùy chọn 3

1. Giải phương trình
   $$2|x - 6| \cos x = x - 6.$$
2. Cho hai đỉnh của một tam giác đều là $A(2; 0)$ và $B(0; 2)$. Tìm diện tích và tọa độ của tam giác $C$. Chỉ ra tất cả các chuyển động của mặt phẳng mà tại đó tam giác $ABC$ được ánh xạ lên chính nó.
3. Liệt kê tất cả các cách có thể để phân công trách nhiệm cho năm khách du lịch, nếu một trong số họ phải lấy củi, hai người phải nấu bữa tối và những người còn lại phải dựng lều.
   Có bao nhiêu cách phân chia trách nhiệm cho 24 khách du lịch nếu bạn cần tạo thành bốn nhóm, trong đó ba nhóm có bốn người?
4. Tìm tất cả các nguyên hàm của một hàm số
   $$f(x) = (2x - 3) \cdot |x - 2|$$
   trong khoảng thời gian ]—3; 1[ và ở giữa ]1; 3 [.
5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
   $$f(x) = 3x + 2 \text{ ctg } x (x \in ] 0; \frac{\pi}{2} ]).$$
   Tìm hiểu xem lời giải có bất đẳng thức $f(x) < 4,5$ hay không.

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Từ các điểm nằm trên bề mặt Trái đất ở khoảng cách $s = 35,4$ m với nhau, hai vật được ném đồng thời theo các góc $\alpha_1 = 60^\circ$ và $\alpha_2 = 30^\circ$ theo phương ngang sao cho các thành phần nằm ngang của vận tốc của hai vật hướng về phía nhau. Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu chuyển động thì hai vật va chạm nhau trong không khí? Vận tốc của vật thứ nhất $v_1$ sao cho nếu không xảy ra va chạm thì nó sẽ hạ cánh tại điểm mà vật thứ hai được ném ra.
2. Khi các vật có cùng khối lượng $m = 1$ kg nằm chồng lên nhau, như trên Hình 1. Hệ số ma sát giữa vật 1 và 2 là $k_1 = 0,1$, và giữa vật 2 và 3 - $k_2 = 0,2$. Hệ số ma sát giữa vật 3 và sàn là $k_3 = 0,1$. Vật 2 bị kéo bởi một lực nằm ngang $F$. Tại giá trị tuyệt đối nào của lực $F$ thì ba vật này đã chuyển động như vậy, trong đó vật 1 và 3 đứng yên so với nhau? Xác định gia tốc $a_1$, $a_2$ và $a_3$ của cả ba vật trong chuyển động này.
3. Tấm ván dài nhất cho $L_{\text{max}}$ có thể được đóng vào giữa các bức tường thẳng đứng nằm cách nhau $l = 2$ m (Hình 2),
   nếu hệ số ma sát giữa bến và tường là $k = 0,2$? Tấm ván được coi là không biến dạng và bỏ qua trọng lượng của nó.
4. Khi di chuyển ra khỏi tấm nằm ngang, vật bị mất $f = 0,11$ năng lượng. Ngay trước khi tấn công, cơ thể có tốc độ $\vec{v}_0 (|\vec{v}_0| = 4,9 \text{ m/c})$, hướng một góc $\alpha = 60^\circ$ so với đường chân trời. Ở khoảng cách s tính từ điểm va chạm, vật sẽ va chạm vào tấm đĩa lần thứ hai? Không có ma sát giữa tấm và thân máy trong quá trình tháo ra.
5. Cơ thể thực hiện chuyển động hài hòa với tần số $v = 1 \text{ Гц}.$ Viết