Bất đẳng thức tổng cố định

29

Từ những trang sách giáo khoa

V. Gutenmacher

Bất đẳng thức tổng cố định

Vào đầu năm học, chúng tôi chọn chủ đề “Bất đẳng thức” cho phần của mình vì nó tạo ra toàn bộ chương trình đại số ở trường (xem Chương II “Đại số 7”, Chương I “Đại số 8” và Chương IX của sách “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 10”).

Lưu ý rằng các bất đẳng thức lời giải với một số tính chất biến đổi quan trọng hơn nhiều so với bài toán trong kinh tế học và các ứng dụng khác của toán học.

Trong bài viết về những vấn đề đơn giản nhất *), chúng ta sẽ làm quen với những nguyên tắc lập luận quan trọng giúp bạn học cách xử lý các bất đẳng thức một cách trôi chảy.

*) Một phần trong số bài toán này bao gồm một trong các nhiệm vụ VZMSh (xem trang 32).

Bài toán về bột mì

Trong các điều kiện của bài toán đầu tiên, chúng ta đang nói về các bộ ba số a, b, c, liên quan với nhau bằng quan hệ a+b+c=1, trong phần thứ ba - về phương pháp mô tả các dấu vết đó trên một mặt phẳng.

Bài toán 1. Ba túi chứa 1 cốc bột. Ngoài ra, người ta biết rằng trong gói thứ nhất không có nhiều bột hơn gói thứ hai và ở gói thứ hai - không nhiều hơn gói thứ ba.

a) Túi thứ ba có thể đựng được 2/5 ke bột mì không?

b) Túi thứ ba có thể chứa 1/5 cốc bột mì được không?

b) Túi thứ ba có thể chứa ít nhất bao nhiêu bột mì?

d) Túi thứ ba có thể chứa nhiều nhất bao nhiêu bột mì?

a) Đáp số. Có lẽ. Hãy đưa ra một ví dụ. Hãy chia bột như thế này: cho 3/10 kg bột vào túi thứ nhất và túi thứ hai, và 2/5 kg vào túi thứ ba. Khi đó tất cả các điều kiện đều được đáp ứng: 3/10 + 3/10 + 2/5 = 1 và túi thứ nhất chứa không nhiều bột hơn túi thứ hai (3/10 3/10), và túi thứ hai không chứa nhiều bột hơn túi thứ ba (3/10 2/5).

b) Đáp số. Không, không thể được. Hãy chứng minh điều đó. Giả sử bao thứ ba chứa 1/5 kg thì bao thứ hai chứa không quá 1/5 kg và bao thứ nhất cũng chứa không quá 1/5 kg. Nhưng cả ba túi đều không quá 3/5 ke bột mì,

30

điều đó mâu thuẫn với điều kiện. Do đó, giả định của chúng tôi (rằng có $1/5$ kg trong gói thứ ba) là không chính xác.

c) Đáp số. Gói thứ ba chứa tối đa $1/3$ kg. Hãy chứng minh điều đó. Đầu tiên chúng ta hãy chứng minh rằng gói thứ ba chứa không ít hơn $1/3$ kg. Giả sử điều ngược lại: giả sử có ít hơn $1/3$ kg bột mì. Khi đó cả túi thứ hai và túi thứ nhất cũng chứa ít hơn $1/3$ kg, nhưng điều này có nghĩa là cả ba túi đều chứa ít hơn 1 kg bột mì, điều này mâu thuẫn với điều kiện. Vậy gói thứ ba chứa ít nhất $1/3$ kg. Bây giờ chúng ta chứng minh rằng túi thứ ba có thể chứa $1/3$ kg bột mì. Nếu bạn đổ $1/3$ kg vào mỗi túi, thì tổng số sẽ là 1 kg và sẽ không có nhiều bột ở túi thứ nhất hơn ở túi thứ hai, và ở túi thứ hai – không nhiều hơn ở túi thứ ba.

d) Đáp số. Gói thứ ba chứa tối đa 1 kg. Trên thực tế, theo điều kiện, không được quá 1 kg, và sẽ thu được 1 kg khi hai túi đầu tiên không còn chút bột mì nào.

Hai bài toán tiếp theo cùng loại với bài toán 1. Viết chúng lời giải, sử dụng lời giải bài toán 1 của chúng tôi làm mẫu.

Bài toán 2. Điều kiện có thể giống như trong bài toán 1. Bạn cần trả lời các câu hỏi:

a) Túi thứ hai có thể chứa $2/5$ kg bột mì không?

b) Túi thứ hai có thể chứa $3/5$ kg bột mì không?

và chứng minh rằng

b) Thùng thứ hai có nhiều nhất $1/2$ kg bột mì.

d) Bao thứ hai có thể chứa 0 kg bột mì.

Bài toán 3. Điều kiện có thể giống như ở bài toán 1. Cần trả lời các câu hỏi:

a) Bao thứ nhất có thể chứa $13/37$ kg bột mì không?

b) Bao thứ nhất có thể chứa $12/37$ kg bột mì không?

b) Thùng thứ nhất có bao nhiêu bột?

d) Túi thứ nhất có ít hơn bao nhiêu bột?

Thay vì bột mì - những con số và góc cạnh

Hãy quay lại bài toán 1. Nó có thể được hình thành theo cách khác:

Bài toán 4. Về số $a, b, c$ được biết là $a+b+c=1$ và $0 \leq a \leq b \leq c$.

a) Có thể bằng $2/5$ không?

b) $1/5$ có thể bằng nhau không?

b) Đặt giá trị nhỏ nhất thành $c$.

d) Đặt giá trị nhỏ nhất thành $c$.

Lời giải bài toán 4 có thể được viết như sau:

a) $c$ có thể bằng $2/5$. Ví dụ: $c=2/5, a=3/10, b=3/10$. sau đó $3/10+3/10+2/5=1$ và $3/10 \leq 2/5$.

b) $c$ không thể bằng $1/5$. Trên thực tế, nếu $c=1/5$ thì $b \leq 1/5, a \leq 1/5$, do đó $a+b+c<1$, điều này là không thể. Vậy $c \geq 1/3$. Hãy chứng minh rằng $c$ có thể bằng $1/3$. Trên thực tế, nếu chúng ta đặt $a=b=c=1/3$ thì mọi điều kiện sẽ được thỏa mãn.

Bài toán 5. Viết lại bài toán 2 theo cách tương tự và cho nó lời giải giống như cách chúng ta đã làm ở bài 1 (xem bài toán 4).

Bây giờ hãy giải bài toán sau, sau đó bài toán 4 và 5:

Bài toán 6. Về số $a_1, a_2, a_3$ được biết là $a_1+a_2+a_3=1$ và $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq a_3$.

a) Đặt giá trị tối đa $2a_1+3a_2$.

b) Đặt giá trị tối thiểu $2a_1+3a_2$.

Bài toán 7. a) Giá trị lớn nhất trong một tam giác có thể bằng $50^\circ$ không?

b) Vol lớn nhất trong một tam giác có thể bằng $88^\circ$ không?

Bài toán 8. Giá trị nhỏ nhất có thể thuộc về góc lớn nhất trong một tam giác là bao nhiêu?

Bài toán 9. Ba bao chứa 1 kg bột mì, biết bao thứ nhất chứa lượng bột bằng một nửa bao thứ hai, bao thứ hai không nhiều hơn bao thứ ba. Có thể tìm thấy nhiều nhất bao nhiêu bột mì trong túi thứ hai?

Bài toán 10. Các đường thẳng trên mặt phẳng được sắp xếp sao cho không có hai đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng trong số đó có

31

ít nhất hai đường thẳng có khoảng cách giữa chúng ít nhất là 36°.

Gợi ý. Chọn một điểm tùy ý trên mặt phẳng và vẽ các đường thẳng song song với dữ liệu đi qua điểm đó.

Bài toán 11. Chứng minh rằng một hình chữ nhật lồi không thể có nhiều hơn ba góc nhọn.

Bài toán 12. Các quy trình $a, b, c, d$ được gọi là $a+b+c+d=4$ và $0 \leq a \leq b \leq c \leq d$.

a) Chứng minh rằng $c \leq 2$.

b) Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của $b+c$ là $8/3$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $a+d$.

Bài toán 13. Các quy trình $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ được biết đến là $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$ và $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5$.

a) Chứng minh rằng $a_3 \leq 1/3$.

b) Tìm giá trị lớn nhất của $a_2+a_3+a_4$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $a_1+a_5$.

Bài toán
về một tam giác đều

Bài toán 14. Cho một tam giác đều. Tìm tập hợp các điểm bên trong nó:

a) được phân bổ từ bên $AB$ không lớn hơn từ bên $BC$;

b) phân bổ từ bên $BC$ không lớn hơn từ bên $AC$;

b) thỏa mãn đồng thời các điều kiện a) và b).

Đáp số đối với câu hỏi a) được tô màu trong Hình 1a), đối với câu hỏi b) - trong Hình 1b).

Hóa ra bài toán 14b) có liên quan chặt chẽ đến vấn đề 1. Để thu hẹp khoảng cách giữa các vấn đề này, chúng tôi giải quyết bài toán sau:

Bài toán 15. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ bên trong một tam giác đều $ABC$ đến cạnh của nó bằng độ dài $h$ đường cao của nó.

Đã giải quyết và e. Lấy một điểm tùy ý $M$ bên trong tam giác $ABC$ và bỏ từ đó sự phân bố lại của các lỗ ở các cạnh $AB, BC$ và $AC$. Đặt độ dài của các đoạn kết quả bằng $h_1, h_2$ và $h_3$; đây là khoảng cách từ điểm $M$ sang một bên. Cần phải chứng minh rằng $h_1+h_2+h_3=h$. Hãy nối điểm $M$ với các đỉnh $A, B$ và $C$. Rõ ràng, $S_{ABM}+S_{CBM}+S_{CMA}=S_{ABC}$, trong đó $S_{ABM}, S_{CBM}, S_{CMA}, S_{ABC}$ lần lượt là diện tích của các hình tam giác $ABM, CBM, CMA, ABC$. Chúng ta hãy biểu thị độ dài cạnh của tam giác $ABC$ bằng $a$ và viết lại đẳng thức này như sau:

$$\frac{ah_1}{2}+\frac{ah_2}{2}+\frac{ah_3}{2}=\frac{ah}{2}.$$

Do đó ta chứng minh đẳng thức: $h_1+h_2+h_3=h$.

Phần bù của bài toán 15. Khẳng định bài toán này không chỉ đúng với các điểm bên trong của tam giác mà còn đúng với các điểm nằm trên các cạnh và ở các đỉnh của tam giác. (Đồng thời, chúng ta giả sử rằng nếu một điểm nằm trên một cạnh của một tam giác thì khoảng cách của nó đến cạnh này bằng 0.) Hãy tự chứng minh điều này.

Hình 1

Lấy một tam giác đều $ABC$ sao cho chiều cao của nó bằng chiều dài $h$ chiều cao của nó.

Chúng tôi khuyên bạn nên tự mình suy nghĩ về cách chứng minh mệnh đề “nghịch đảo”: nếu cho ba số $h_1, h_2, h_3$ sao cho $h_1 \geq 0, h_2 \geq 0, h_3 \geq 0, h_1+h_2+h_3=1$, thì bên trong hoặc trên biên của tam giác $ABC$, bạn có thể tìm thấy một điểm $M$, khoảng cách từ đó đến $[AB]$ là $h_1$, đến $[BC] - h_2$, đến $[AC] - h_3$. Tất nhiên chỉ cần thỏa mãn hai điều kiện đầu là đủ thì khoảng cách từ $M$ đến cạnh thứ ba, theo bài toán 15, sẽ là 1—$h_1-h_2=h_3$.

32

Vì vậy, chúng ta đã học cách biểu diễn các bộ ba số dương (chính xác hơn là không âm) ($h_1; h_2; h_3$) với $h_1+h_2+h_3=1$ dưới dạng số hình học. Chúng tôi sẽ nói như vậy: “dấu chấm ($h_1; h_2; h_3$)” *).

Minh họa hình học đầu tiên bài toán

Bây giờ chúng ta hãy quay lại nhiệm vụ đầu tiên một lần nữa. Ví dụ, hãy xem xét Hình 16) đến bài toán 14 (sau đây chúng ta vẫn giả sử rằng chiều cao của tam giác $ABC$ bằng 1). Trên đó, những điểm ($h_1; h_2; h_3$) mà $h_1 \leqslant h_2$ và $h_2 \leqslant h_3$ được đánh dấu.

Hãy chứng tỏ rằng trong nhiều trường hợp, các câu hỏi mà chúng tôi đặt ra trong các bài toán đầu tiên rất dễ trả lời bằng cách sử dụng tọa độ barytric. Ví dụ: hãy quay lại bài toán 4.

Bây giờ chúng ta có các ký hiệu khác nhau: $a=h_1$, $b=h_2$, $c=h_3$ và các điều kiện được viết như sau: $0 \leqslant h_1 \leqslant h_2 \leqslant h_3$, $h_1+h_2+h_3=1$.

*) Các nhà toán học gọi các số $h_1, h_2, h_3$ tọa độ barytric của các điểm trong một tam giác đều.

Nhiệm vụ của Trường Toán học Tương ứng

Bắt buộc bài toán: Số 2, 3, 7 - 10, 12a), 17.

Bổ sung bài toán: số 6, 11, 126), 12c), 136).

Về một tổ hợp bài toán
(Kết thúc. Xem phần đầu ở trang 19)

Những gì xảy ra tiếp theo thậm chí còn thú vị hơn. Trong “Giáo dục Toán học” số 4 (M., FM, 1959), Giáo sư A. Lopshitz, nhận xét về bộ sưu tập đã được đề cập về bài toán được mô tả và muốn cung cấp thông tin cho những người yêu thích toán học và tất nhiên là hài lòng, đã chọn, tất nhiên, theo sở thích của mình, 27 bài toán trong số 400 đã được chọn. Một lần nữa, cả hai bài toán này, độc lập, đều lọt vào danh sách.

Trên thực tế, như chúng ta đã thấy, cả hai bài toán này đều là hai mặt của cùng một vấn đề.

Từ “câu chuyện” này, có thể thấy rõ ngay cả những nhà toán học vĩ đại không phải lúc nào cũng hiểu nhau, vì họ thường nói những ngôn ngữ khác nhau. Hiện tượng này gần đây đã lan rộng khá rộng rãi, khi luồng thông tin làm tăng khả năng xử lý thông tin một cách hiệu quả của một người.