Bài toán M581—M585; F593—F597

22

Bài toán

M581 — M585; F593— F597

M581. a) Có số nào có ba chữ số mà khối lập phương tận cùng là ba chữ số bảy không?
b) Với bất kỳ tập hợp chữ số nào, số cuối cùng khác 0, có lập phương nào kết thúc bằng tập chữ số này không?

A. Brotsky

M582. Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mỗi cạnh bằng một nửa độ dài cạnh đối diện.

A. Kelarev

M583. Các bộ đá được xem xét, khối lượng mỗi viên không quá 2 kg và tổng khối lượng của bộ là 50 kg. Từ một bộ như vậy, một số viên đá được chọn, tổng khối lượng của chúng khác với 10 kg bởi số D nhỏ nhất có thể có đối với một bộ nhất định. Giá trị lớn nhất mà số D có thể nhận được đối với tất cả các bộ đá có thể có là bao nhiêu?

A. Waitrob, A. Pechkovsky

M584. Có thể tưởng tượng toàn bộ không gian là sự kết hợp của các đường thẳng, mỗi đường thẳng giao nhau (nghĩa là không nằm trong cùng một mặt phẳng)?

F. Weinstein

M585. N nhà khoa học đã có mặt tại hội nghị hóa học - các nhà hóa học và nhà giả kim, và có nhiều nhà hóa học hơn nhà giả kim. Người ta biết rằng các nhà hóa học trả lời sự thật cho bất kỳ câu hỏi nào, và các nhà giả kim đôi khi nói sự thật, đôi khi họ nói sự thật. Một nhà toán học tình cờ có mặt tại hội nghị phải xác định cho mỗi nhà khoa học xem anh ta là nhà hóa học hay nhà giả kim. Để làm điều này, anh ta có thể hỏi bất kỳ nhà khoa học nào câu hỏi: “Ai là nhà hóa học hay nhà giả kim?” (Cụ thể: “Bạn là ai?”). Chứng minh rằng một nhà toán học có thể tìm ra mọi thứ được yêu cầu

a) đối với câu hỏi 4N; 6) cho 2N - 2 câu hỏi;

b) * cố gắng nghĩ ra cách xác định ai là nhà hóa học và ai là nhà giả kim trong ít câu hỏi hơn (tác giả biết một cách khá phức tạp cho phép bạn thực hiện điều này trong [3N/2] câu hỏi).

S. Konyashin, P. Bleker

23

F593. Một vòng có bán kính $r$ lăn xuống từ độ cao $H$ ($r \ll H$) không trượt dọc theo mặt phẳng nghiêng có góc $\alpha$ ở đáy và đàn hồi tuyệt đối va vào một bức tường nhẵn vuông góc với mặt phẳng nghiêng (Hình 1). Vòng sẽ tăng lên độ cao bao nhiêu sau khi va chạm nếu hệ số ma sát trượt là $\mu$?

M. Borodovsky

F594. Hãy tưởng tượng những gì bạn tìm thấy trong một nhà tắm đầy nước nóng và có sương giá bên ngoài cửa sổ. Hơi nước sẽ đi đâu nếu bạn mở cửa sổ?

A. Varlamov

Hình 2.

F595. Hình 2 thể hiện sự phụ thuộc của dòng điện vào điện áp đối với bộ ổn áp DC - barretor. Barretor được mắc nối tiếp với điện trở tải $R = 13$ Ohm với pin có suất điện động $\varepsilon = 26$ V. Emf của pin có thể thay đổi trong giới hạn nào nếu dòng điện tải không được thay đổi quá 50 mA?

S. Kozel

F596. Khoảng thời gian giữa hai lần nhật thực liên tiếp của vệ tinh Io của Sao Mộc thay đổi trong năm từ giá trị tối thiểu là 42 giờ 28 phút 21,5 giây đến giá trị tối đa là 42 giờ 28 phút 51,5 giây. Sử dụng những dữ liệu này, hãy xác định tốc độ ánh sáng, giả sử Trái đất chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo tròn có bán kính 150 ml. km. Bán kính quỹ đạo Jupter của thành phố lớn hơn bán kính quỹ đạo Trái đất và tốc độ của Jupter của thành phố nhỏ hơn tốc độ Trái đất.

V. Belonuchkin

F597. Magnetron là một ống electron hai electron có hình trụ dị thường có bán kính $r$, dọc theo trục của nó có một sợi dây mỏng - cực âm. Khi cực âm được nung nóng, nó phát ra các electron có năng lượng $E$. Magnetron được đặt trong một từ trường đều song song với trục của nó. Tại giá trị nào của cảm ứng từ trường thì dòng điện trong mạch dị thường sẽ bằng không?