Bài toán M706—M710; F718—F722

32

Bài toán

M706 — M710; F718 — F722

M706. Từ tâm của hai đường tròn cho trước vẽ các tiếp tuyến với đường tròn kia. Chứng minh rằng các dây nối giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn (trong Hình 1, các dây này được tô màu đỏ) có cùng độ dài.

A. Savin

M707. Mỗi học sinh trong lớp tham gia không quá hai câu lạc bộ và bất kỳ cặp học sinh nào cũng có một câu lạc bộ để các em học cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một câu lạc bộ có ít nhất 2/3 số học sinh của lớp này tham gia.

A. Sidorenko

M708. Trên các cạnh của một tứ giác lồi có diện tích $S$, các hình vuông được dựng bên ngoài nó, các tâm của chúng đóng vai trò là các đỉnh của một tứ giác mới có diện tích $S_1$. Chứng minh rằng
a) $S_1 \geq 2S$;
b) $S_1 = 2S$ khi và chỉ khi các đường chéo của tứ giác ban đầu có độ dài bằng nhau và vuông góc với nhau.

P. Gusyatnikov

M709. Sàn của căn phòng có hình lục giác đều có cạnh 10, được lát bằng gạch hình thoi có cạnh 1 và góc nhọn 60°. Được phép lấy ra ba ô tạo thành hình lục giác đều có cạnh 1 và thay thế cách sắp xếp của chúng bằng một ô khác (Hình 2). Chứng minh rằng
a) từ bất kỳ sự sắp xếp nào của các hoạt động như vậy có thể thu được bất kỳ hoạt động nào khác;
b) việc này có thể được thực hiện không quá 1000 thao tác;
c) từ cách sắp xếp các khối ảnh trong Hình 3, và không thể có được sự sắp xếp như Hình 3.6 với ít hơn 1000 thao tác.

A. Smirnov

M710. Có một dãy số tự nhiên riêng biệt $a_1, a_2, a_3, \dots$, không có số hạng nào bằng tổng của nhiều số khác, sao cho (với tất cả $n=1,2,\dots$)
a) $a_n \leq 2(\sqrt{3})^n$;
b) $a_n \leq 10(1,5)^n$;

33

d) $a_n \leq 1000n^{7/2}$; e) $a_n \leq 1000n^{3/2}$

S. Konyatsin

F718. Trên bờ sông có vận tốc dòng chảy là $\omega$, tại điểm $A$ có ​​một cậu bé. Anh ta có thể dọc bờ biển với tốc độ $v$ và bơi dọc sông với tốc độ $u$ (so với mặt nước) và $u < \omega$. Xác định khoảng cách $x$ từ điểm $A$ có điểm $C$ của bờ từ đó cậu bé phải bắt đầu bơi để đến được phao $B$ trong thời gian ngắn nhất. Khoảng cách $BD$ từ phao đến bờ là $h$, khoảng cách $AD$ là $l$ (Hình 4).

S. Krotov

F719. Một quả bóng nhỏ nặng có khối lượng $m$, có điện tích $q$, nhận vận tốc ban đầu $v_0$, hướng thẳng đứng lên trên. Quả bóng nằm trong một điện trường đều nằm ngang có hướng $E$. Bỏ qua sức cản của không khí và sự phụ thuộc của gia tốc áp suất tự do $g$ vào độ cao, xác định tốc độ tối thiểu của quả bóng trong quá trình chuyển động của nó.

B. Bukhovtsev

F720. Một chùm tia đồng nhất có khối lượng $M$ có chiều dài $l$ bắt đầu di chuyển xuống một mặt phẳng nghiêng tạo một góc $\alpha$ với đường chân trời. Phần ban đầu có chiều dài $l$ của mặt phẳng nghiêng được chiếm bởi các con lăn đặt gần nhau dưới dạng ống có khối lượng $m$ và bán kính $r \ll l$ (Hình 5), quay không ma sát trong các ổ trục. Phần còn lại của mặt phẳng nghiêng là phẳng. Tìm sự phụ thuộc của gia tốc của tải vào chuyển động của nó dọc theo mặt phẳng.

A. Stasenko

F721. Một tấm điện môi tích điện đồng đều trên bề mặt và có hình dạng như một tam giác vuông đều được gấp làm đôi. Trong trường hợp này, công $A$ được thực hiện chống lại lực của trường nhà máy điện. Cần phải thực hiện bao nhiêu công để gấp một hình tam giác làm đôi?

O. Savigan

F722. Tụ điện Plock nằm trong từ trường vuông góc với mặt phẳng của các bản (Hình 6). Khoảng cách giữa các bản $d$, vectơ cảm ứng từ $B$. Bên trong tụ điện, gần bản tích điện âm có một nguồn electron chậm phát ra các electron theo các hướng khác nhau. Các electron sẽ tập trung vào bản tích điện dương theo hướng nào giữa các bản? Điều gì quyết định kích thước của “điểm”?

A. Trubachev