Задачи М706—М710; Ф718—Ф722

32

Задачи

M706 — M710; Ф718 — Ф722

M706. Из центра каждой из двух данных окружности проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.

A. Савин

M707. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, где занимаются не менее 2/3 учеников этого класса.

A. Сидоренко

M708. На сторонах выпуклого четырехугольника площади $S$ вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырехугольника площади $S_1$. Докажите, что
a) $S_1 \geq 2S$;
b) $S_1 = 2S$ в том и только в том случае, когда диагонали исходного четырехугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

П. Гусятников

M709. Пол комнаты, имеющий форму правильного шестиугольника со сторонай 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со сторонай 1 и острым углом 60°. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со сторонай 1, и заменить их расположение другим (рис. 2). Докажите, что
a) из любого расположения плиток таких операций можно получить любое другое;
b) это можно сделать не более чем за 1000 операций;
в) из расположения плиток рисунка 3, а нельзя получить расположение рисунка 3,6 менее чем за 1000 операций.

A. Смирнов

M710. Существует ли последовательность различных натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$, ни один из членов которого не равен сумме нескольких других, такая что (при всех $n=1,2,\dots$)
a) $a_n \leq 2(\sqrt{3})^n$;
b) $a_n \leq 10(1,5)^n$;

33

г) $a_n \leq 1000n^{7/2}$; д) $a_n \leq 1000n^{3/2}$

С. Коняцин

Ф718. На берегу реки, скорость течение которого равна $\omega$, в точке $A$ находится малчик. Он может быть по берегу со скоростью $v$ и плять по реке со скоростью $u$ (относительно воды), причем $u < \omega$. Определить, на каком расстоянии $x$ от точки $A$ находится та точка $C$ берега, откуда малчик должен начать плять, чтобы добраться до бакена $B$ за напменшее время. Расстояние $BD$ от бакена до берега равно $h$, расстояние $AD$ равно $l$ (рис. 4).

С. Кротов

Ф719. Маленькому тяжелому шарику массы $m$, имеющему заряд $q$, сообщают начальное скорость $v_0$, направленную вертикальную вверх. Шарик находится в однородном горизонтальном электростанческом поле, направленность которого равна $E$. Пренебрегая сопротивлением воздуха и зависяство ускорения свободного давления $g$ от высоты, определять минимальную скорость шарика в процессе его движения.

Б. Буховцев

Ф720. Оdnородный брус массы $M$ длины $l$ начинает движаться вниз по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Начальний участок длины $l$ наклонной плоскости занят близко расположенными катками в виде трубок массы $m$ и радиуса $r \ll l$ (рис. 5), которые врашаются без tremия в подшипниках. Ostальной участок наклонной плоскости гладкий. Найти зависяство ускорения груза от перемещения вдоль плоскости.

А. Стасенко

Ф721. Равномерно заряженный по поверхности лист из диэлектрика, имеющий форму равноведренного прямого угольного треугольника, сложили пополам. При этом была совершена работа $A$ против сил электростанческого поля. Какую работу надо совершить, чтобы сложить пополам пополенный треугольник?

О. Савченко

Ф722. Плокский конденсатор находится в магнитном поле, которое перепедикулярно плоскости пластин (рис. 6). Расстояние между пластинами $d$, вектор магнитной индукции $B$. Внутри конденсатора около отрицательно заряженной пластины расположен источник медленных электровов, испускающий электроны в разных направлениях. При каком направлении между пластинами электроны будут фокусироваться на положительное заряжение пластине? От чего зависят размер «пятна»?

А. Трубачев