Всероссийская олимпиада школьников

58

Всероссийская
олимпида
ШКОЛЬНИКОВ

По сложившейся традиции Всероссийская
олимпида школьников по математике и физике проводится в четыре этапа: первый этап — школьные olимпиды; второй — районы, городские; третьий — ресурсиканские (АССР), краевые, областные; четвертый — зональные olимпиды.

В этом году заключительный, четвертый этап olимпиды проходил в дни весенних школьных каникул в четырех городах РСФСР: в Куйбышеве, Рязани, Новосибирске и Орджоникидзе.

Школьники, занявшие I—III места, нагружались дипломами и памятными призами, а занявшие IV место — грамотами. Оргинальные решения отдельных задач отмещались специальными призами. Министерство просвещения РСФСР нагradило также грамотами учитель, подготовивших победителей и призов olимпиды.

Ниже приводятся задачи по математике и физике заключительного этапа и фамилии призов Всероссийской olимпиды.

Математика

8 класс

1. Докажите, что число $(1+\sqrt{2})^{1981}$ представляется в виде $a+b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ — взаимно простые целые числа.

2. Дан треугольник $ABC$. На продолжениях сторон $AB, CB$ и медианы $MB$ за точку $B$ взяты соответственно точки $K, L, N$ так, что $|BK|=3|AB|$, $|BL|=5|CB|$, $|BN|=4|MB|$.

Найдите относение площадей треугольников $ABC$ и $KLN$.

3. Последовательность $(a_n)$ задана рекурентным способом: $a_1=m$, $a_{n+1}=a_n+2^{a_n}$, $n\geqslant1$, $m$ — данное натуральное число. Докажите, что среди членов этой последовательности найдется бесконечно много чисел, делящихся на 3.

4. Козффициенты $a, b, c$ уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ по модulo не превозходит числа 1980. Может ли это уравнение имеет корень, больший 1981?

5. Два правильных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (вершины указаны против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что $\vec{AB}_1=2\vec{BA}_1$. Точка $D$ — середина отрезка $AB_1$. Найдите углы треугольника $CDC_1$.

9 класс

1. Можно ли в таблицу $n\times n$ клеток записать числа 1, — 1 и 0 так, чтобы все суммы — в каждой строке и на каждой из двух диагоналей — были различны?

2. Два квадрата $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ (вершины перечислены против частелки) расположены на плоскости так, что $\vec{AA}_1=2\vec{BD}_1$. Точка $E$- середина отрезка $AA_1$. Найдите углы треугольника $CEC_1$.

3. В девятнутольной примиде боковые ребра и диагонали основания okрашены: неокторы — в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что среди этих отрезков можно указать три, которые образуют треугольник и okрашены в один цвет*).

4. Две последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ заданы рекурентным способом: $a_1=a>0$, $b_1=b>0$, $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$, $b_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n^2+b_n^2}{2}}$, $n\geqslant1$. Докажите, что при любом $n$ справедливо неравенство

$$|b_{n+1}-a_{n+1}| \leqslant \frac{|b-a|}{2^n}.$$

5. Найдите все 200-значные числа, начинаяше с 99 девяток и являющиеся полными квадратами.

10 класс

1. Можно ли по кругу расставить цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма любых трехрядом стоящих цифр не превысidedла: a) 14, b) 15?

2. Последовательность $(a_n)$ задана рекурентным способом: $a_1=1$, $a_2=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_n}{2^n}$, $n\geqslant1$. Докажите, что при всех $n$ выполнен неравенство $a_n<3$.

3. Найдите все решения $(x; y; z)$ системы уравнений:

$$\begin{cases} \cos x+\cos y+\cos z=\frac{3\sqrt{3}}{2}, \\ \sin x+\sin y+\sin z=\frac{3}{2}. \end{cases}$$

4. На прямой дуги точки $A, B$ лежит между $A$ и $C$. На отрезках $AB, BC$ и $AC$, как на диаметрах, построены полукругности, лежащие по одному сторону от этой прямой. Перpendикуляр к $(AC)$, проведенный через точку $B$, пересекает большую полукругность в точке $D$. Докажите, что общая касательная двух меньших полукругностей, отличная от $(BD)$, параллельна ка-

*) Эта задача опубликована в Задачнике «Квант» под номером М687 a).

59

сательной к большей получокружности, проведенной через точку D.

5. Дан терраэдр ABCD объема V. Точка K — центр тяжести грани ABC. На продолжениях отрезков AD, BD, CD и KD за точку D взяты соответственно точки L, M, N и P так, что |DL| = 2|AD|, |DM| = 2|BD|, |DN| = 3|CD|, |DP| = |KD|. Вычислите объем терраэдра LMNP.

Физика

Теоретический тур
8 класс

1. Пункты A и B находятся на одной горизонтали на склоне горы с уклоном α на расстоянии l друг от друга (рис. 1). Автомобиль, стартующий из A, должен достичь пункта B, двигаясь по прямой AB. Найдите минимальное время, за которое это можно сделать. Козффициент треня между колесами и грунтом μ > tgα. Считайте, что тяжестЬ автоматического распределения между колесами и все колеса — ведущие.

2. На клине, образующем угол α с горизонтальной плоскостью, лежит грузик A, связанный нерастяжимой нитью с точкой B на вертикальной плоскости (рис. 2). Клин начинает движаться вправа с постоянным ускорением $\vec{a}$. Какова траектория грузика? Как он движется по этой траектории?

3. Из трех резисторов с сопротивлением R1, R2 и R3 собрать схему, изображенную на рисунке 3. Если на вход 1 — 1′ подать напряжение U0 = 1,5 В, а к клеммам 2 — 2′ подключить амператор, он показет силу тока I = 60 мА. Если же вместе амператора к клеммам 2 — 2′ подключить волтметр, он показет напряжение U = 1 В. Если напряжение U0 подать на клеммы 2 — 2′, а волтметр подключить к клеммам 1 — 1′, он снова показет U = 1 В. Определите величины сопротивления резисторов. Сопротивление амператора считайте очень малым, а волтметра — очень большим по сравнению с сопротивлениями резисторов.

4. См. задачу Ф718 в Задачнике «Кванта».

9 класс

1. Транспортер (рис. 4) поднимает песок, который равномерно высшего на ленту из бункера со скоростью подачи μ (кг/c). Длина транспорта l, угол наклона α, радиус ведущего колеса R. При каком минимальном вращаюшем момент двигается транспортер еще сможет равномерно подавать песок наверх? Какова при этом скорость движения ленты? Считайте, что начальная скорость песчнок равна нулю, а длина их просkalывания по ленте достаточно мала, так что у верхнего края транспорта песчники неодвижны относительно ленты.

2. См. задачу Ф719 в Задачнике «Кванта».

3. Ящик, в котором находится идеальный одноатомный газ, мгновенно приводят в движение со скоростью $\vec{v}$. Найдите изменение температуры газа. Масса атома газа m0. Теплоемкость и теплопроводность ящика можно пребежать.

4. На горизонтальной поверхности показча маленькая шайба массой M (рис. 5).

На нее со скоростью $\vec{v}_0$ налетает другая шайба массой m. В результате удра шайба m останавливается, а шайба M достигает высоты h1 накладной плоскости. Во втором опите шайбы помещали местами: на покоящую шайбу m со скоростью $\vec{v}_0$ налетает шайба M. Найдите относение высоты h2/h1, где h2 — высота, на которой поднимается шайба m во втором опите. Удар центральный; трене на горизонтальном участке и на наклонной плоскости отсутствует; относение масс шайб M/m = 3.

10 класс

1. Идеальный газ, взятый в количестве v молей, является рабочим веществом тепловой машины. При работе машины газ меняет свое состояние, совершая круговой процесс (цикл) 1—2—3—1, представленный на TV-диграмме (рис. 6). Процессы 1—2 и 2—3 изображены на графике отрезками прямых (2—3 — изхора), а процесс 3—1 — выра-

60

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Женением $I = 0,5T_1(3-BV)BV$, где $B$ — неизвестная постоянная величины, а $T_1$ — заданная и отмещенная на одной из осей диаграммы абсцилтная температура. Найди работу, совершенную газом за один цикл.

2. См. задачу Ф720 в Задачнике «Кванта».

3. Две системы, каждой из которых состоит из двух одинаковых тел массой $m$, связанных пружинкой жесткостью $k$, движутся наbstречу друг другу с одинаковыми по модулю и постоянными скоростями $v$ (рис. 7). В некоторых моментах расстояние между сталькивающимся телами равно $L$. Определите время, через которого расстояние между теми же телами снова будет равно $L$. Удар абсцилтно упругий.

4. Известно, что один из видов самостоятельного разряда в газах — электрическаядуга — имеет падающий волтамперную характеристику. Иными словами, направление между электродами горяющей дуги тем меньше, чем больше сила тока: $U_d = a + b/i$. Послеовательно с дугой лампой в цель источника тока с ЭДС $\delta = 200$ В включили «балластный» резistor сопротивлением $R$, назначение которого — стабилизировать горение лампы (рис. 8). Пренебрегая внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов, найди все значения $R$, при которых дуговая лампа устойчивого горит, выделяя не менее половины всей мощности, затрачиваем источником. Считайте заданным постоянные значения $a = 55$ В и $b = 50$ В.А.

Экспериментальный тур

8 класс

1. Определите плотность стека, из которого изготовлена банка из-под майонеза.

Оборудование: майонезная банка, мензурка объемом $V \approx 250$ mm³, стеклянный сосуд, полоска из мягкого металла размером $2 \times 20$ см, сосуд с водой (водопроводный кран).

2. Определите удельную теплоту парообразования воды. Удельную теплоемкость воды считайте известной.

Оборудование: тонкостенный металлический сосуд, электроплитка (горелка), кусочек льда неизвестной массы, часы.

9 класс

1. Определите коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора. Оцените погрешности измерений при различных способах выполнения работы.

Оборудование: капиллярная трубка, сосуд с водой, сосуд с мыльным раствором, манометр в виде U-образной трубки, груша для накачивания воздуха, стеклянный тройник, шатин с муфтой и лапкой, линейка.

2. Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы оттянуть тетиву лука на 5 см. Сделайте из линейки иниток лук с тетивой, имеющей длину 40 см. Определите работу, необходимую для оттяивания тетивы этого лука на 5 см. Проделяйте те же измерения при длине тетивы 37 см. Объясните полученные результаты.

Оборудование: две ученические деревянные линейки длиной 40 см, на концах одной из них просверлены отверстия, суровая нить длиной 0,5 м, два диамометра Бакушинского, шатинвлажного с лапкой, миллиметровая бумага размером $20 \times 25$ см.

10 класс

1. Определите плотность стеклянной палочки.

Оборудование: стеклянная палочка, сосуд большого диаметра с водой, линейка.

2. Построите график зависимости мощности, выделяемой на внешнем сопротивлении, от величины этого сопротивления. Объясните полученные результаты.

Оборудование: источник постоянного тока, два амperметра, волтметр, реostat, набор проводов, ключ.

Результаты решения задачи по физике приведены в следующей таблице:

| Класс | Общество коль-вочников | Число участков, успешно справившихся с задачей |
| :— | :— | :— |
| | Теоретический тур | Экспериментальный тур |
| 1 | 2 | 4 |
| 8 | 72 | 0 |
| 9 | 82 | 12 |
| 10 | 94 | 28 |

О. Овчиников,
C. Резниценко

61

Призеры
Всероссийской олимпиады
ШКОЛЬНИКОВ

Математика

Дипломы I степени

по 8 классам получили:
Кудинов О. (Заринск, с.ш. № 2),
Николаев А. (Уфа, с.ш. № 114),
Орлов Д. (Владимир, с.ш. № 8),
Стаховский В. (п. Капустин Яр Астраханской обл., с.ш. № 231);

по 9 классам —
Забегаева У. (Тула, с.ш. № 36),
Мазуров О. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Матвеев К. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Матюшов С. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Никонов А. (Кировград, с.ш. № 2),
Спивак А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ);

по 10 классам —
Алексеев В. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Анкудинов А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Екшцев Ю. (Сыктывкар, с.ш. № 1),
Каагманов А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Матвеев А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Мухамедшин А. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ).

Дипломы II степени

по 8 классам получили:
Аверин А. (Челябинск, с.ш. № 127),
Бурченко В. (Новокузнецк, с.ш. № 49),
Романов В. (Тула, с.ш. № 36),
Семенов А. (Саратов, с.ш. № 13);

по 9 классам —
Галкин И. (Горький, с.ш. № 36),
Закиров А. (Бийск, с.ш. № 25),
Короткин Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Самборский С. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ);

по 10 классам —
Гапонова М. (Горький, с.ш. № 40),
Колпаков И. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Овчинников П. (Вязники, с.ш. № 11),
Фомин Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Хомич С. (Ангарск, с.ш. № 10),
Чанышев А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ).

Дипломы III степени

по 8 классам получили:
Викторов В. (Рязань, с.ш. № 45),
Шебзухов З. (Нальчик, с.ш. № 2),
Шляхтов А. (Ульяновск, с.ш. № 51),
Шмелев Е. (п. Надежный Якутской АССР, с.ш. № 19)

по 9 классам —
Белостоцкий В. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Бравый Е. (Пермь, с.ш. № 102),
Зубова М. (Томск, с.ш. № 55),
Савкин А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Ходоровский В. (п. Нововоронежский Воронежской обл., с.ш. № 1);

по 10 классам —
Аракин А. (Новокузнецк, с.ш. № 11),
Горшкова Е. (Пермь, с.ш. № 25),
Гринчук М. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Просоров Ю. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Рабинович В. (Тула, с.ш. № 36),
Фролов А. (Ярославль, с.ш. № 33).

Физика

Дипломы I степени

по 8 классам получили:
Кудя А. (п. Таловая Воронежской обл., с.ш. № 51),
Мальцев В. (Иркутск, с.ш. № 21),
Хромушин С. (Арзамас, с.ш. № 2),
Шмаков М. (п. Менделеево Московской обл., с.ш. № 2);

по 9 классам —
Баталов С. (Арзамас, с.ш. № 2),
Качаев И. (Краснойрск, с.ш. № 10),
Мальцев В. (Волгоград, с.ш. № 131),
Позняков П. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Ухов В. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ);

по 10 классам —
Габдулин Р. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Смирнов А. (Курган, с.ш. № 28),
Темирдалев Т. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Фролов А. (Тула, с.ш. № 36).

Дипломы II степени

по 8 классам получили:
Гребнев И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Ивойлов И. (Казань, с.ш. № 131),
Макев И. (Ангарск, с.ш. № 10),
Чеканов С. (Саратов, с.ш. № 13);

по 9 классам —
Ивлев В. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Пронин Д. (Горький, с.ш. № 36),
Султанов А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Цветков П. (Подольск, с.ш. № 6);

по 10 классам —
Козелов А. (Апатиты, с.ш. № 2),
Осodoев А. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Путин А. (Клинцы, с.ш. № 2),
Седышкин В. (Свердловск, с.ш. № 9).