Интервью с бароном Мюнхаузеном

42

И. Юфанова

Интервью с бароном
Мюнхаузеном

— Уважаемый барон! Наш первый вопрос касается Вашero рассказа «За волосы». Действительно ли утверждение о том, что человек способен сам себя поднять за волосы, следует считать Вашим главным физическим открытием?

Барон: — Полягаю, что нет. Уменение поднимать себя за волосы — это не самое главное, совсем не физическое и, собственно, не открытие.
— Вы, по своему обыкновению, шутите?
Барон: — Нисколько.
— Что вывести в курс дела наших читателей, не расскажете ли Вы еще раз, как это случайность?
Барон: — С превеликим удовлетворением.
Это было во время войны с турками. Вообще во время этой войны со мною было много приключений.
Однажды, спасаясь от турок, попробовал я перепрыгнуть болото верхом на коне. Но конь не допрыгнул до берега, и мы сразбегу шленулись в живкую.grязь.
Шленулись — и стали тонут. Спасенья не было.
Болото с ужасной быстрою засасывало нас глубже и глубже. Вот уже все толовище моого коня скрылось в зловонной грязи, и вот уже и моя голова стала погружаться в болото, и оттуда торчит лишь косичка моого парика.
Что было делать? Мы непремено погибели бы, если бы не удивительная сила моих рук. Я страшный силч. Схватив себя за эту косичку, я изо всех сил держил вверх и без большого труда вытащил из болота и себя, и своего конца, которое крепко сжал обеими ногами, как шипцами.
Но позвольте и мне у Вас спросить. Почему Вы называете это физическим открытием?
— Прежде всего потому, что это противоречит известным физическим законом. И потом — никто, кроме Вас, этого никакда не продолжал.
Барон: — Вы не правы. Разве примерно не так поступает велосипедист, выезкая на тротуар с проезжей части дороги? В тот момент, когда

43

переднее колесо подходит к крамке тротуара, он подтягивает руль к себе.
При этом передняя часть волосипеда приподнимается, и волосипедист без толчка вызжает на тротуар.
— Просим читатель принять участие в нашей беседе и ответить на такой вопрос:
Почему барон не мог сам себя вытащить из болота, а какдый волосипедист, подтягивая к себе руль, приподнимает не только себя, но и свой волосипед?
— И еще один Ваш рассказ — «Меткий выступел» — заинтересовал нас с точки зрения законов физики.
Барон: — Честно говоря, я не думал о физике и ее законах, когда развлекал друзей воспоминаниями о своих приключениях. Находи-вость — вот главное в жизни. Впрочем, как Вам угодно.
Испанцы осаждали тогда английскую крепость Гибральт. Я пробался к осажденным. Стоя на стене Гибральта, я увидел сквозь подзорную трубу, что испанцы направляют дуло своей рушки как раз в то место, где стояли мы.

Ни минуты не медля, я приказал, чтобы на это само место была поставлена огромная пушка.
Чуть только пушку подкатили ко мне, я направил ее дуло прямо в дуло непрятельской пушки.
Обе пушки грянули в один и тот же миг.
Случилось то, что я ожидал: в намеченной много точке два ядра — наше и непрятельское — столкнулись сужасошей силой, и непрятельское ядро попетело назад.
Вы понimaете: оно попетело назад к испанцам.
Наше ядро тоже не доставило им удовольствия: оно попало в их военный корабль и пустило его ко дну.

— Благодарю Вас, барон. Трудно поверить во что-нибудь подобное. Чтобы оба ядра после удара стали дивигаться в одну сторону?
Придется вновь обратиться за помощью к нашим читателем:
Правдоподобен ли этот рассказ барона Мюнхаузена?

46

Рис. 5.

как $C_1$ — центroid треугольника $ABD$. Позному $\overrightarrow{OM}_1 = 1/4\overrightarrow{OC} + 3/4 \cdot 1/3(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) = 1/4(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$. Точно также же выражения получим для точек $M_2, M_3$ и $M_4$, делящих медианы треугольра $AA_1, BB_1$ и $DD_1$ в отношении 3:1 соответственно. Следовательно, $\overrightarrow{OM}_2 = \overrightarrow{OM}_3 = \overrightarrow{OM}_4 = 1/4(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$, и поэтому точки $M_1, M_2, M_3$ и $M_4$ совпадают.

Точка $M$ пересечения медиан теграэдра называется его центroidом. Отметим, что для произвольной точки $O$ пространства справедливо $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$.

В заключение рассмотрим одну интересную теорему планиметрии и попытаемся найти аналогичную теорему стереометрии.

Теорема 5. Через произвольную точку $O$, взятую внутри треугольника $ABC$, проведены прямые, параллельные его сторонам. Если $S_1, S_2, S_3$ — площади образованных при этом треугольников (рис. 5), а $S$ — площадь данного треугольника, то

$$\sqrt{S} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3}.$$

Доказательство. Образование треугольника подобытия треугольнику $ABC$, поэтому

$$\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S}} = \frac{|MR|}{|AB|}, \quad \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S}} = \frac{|OQ|}{|AB|}, \quad \frac{\sqrt{S_3}}{\sqrt{S}} = \frac{|OP|}{|AB|}.$$

Складывая эти равенства, получим

$$\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3}}{\sqrt{S}} = \frac{|MR| + |OQ| + |OP|}{|AB|} = \frac{|MR| + |BR| + |MA|}{|AB|} = 1,$$

откуда

$$\sqrt{S} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3}.$$

Сформилируем теперь аналогичную теорему в пространстве.

Теорема 6. Через произвольную точку, взятую внутри треугольра, проведены четырые плоскости, параллельные грамметрия. Если $V_1, V_2, V_3, V_4$ — объём образованных при этом треугольров, а $V$ — объём данной треугольра, то

$$\sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{V_1} + \sqrt[3]{V_2} + \sqrt[3]{V_3} + \sqrt[3]{V_4}.$$

Для доказательства этой теоремы, которые мы предоставляем читателю, следует воспользоваться тем, что теграэдры, о которых идет речь в условиях, подобыны исходному, а также тем, что объём подобных многогранников относится как кубы длин их ребер.

Предлагаемые ниже задачи объединины в пары. В каждой паре пункт a) — неокоторая теорема планиметрии, а пункт 6) — ее пространственный аналог.

Упражнения

1. a) Докажите, что площадь треугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} P \cdot r$, где $r$ — радиус этой окружности, $P$ — перimeter треугольника.

6. Докажите, что объем теграэдра, описанного около сферы, вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S \cdot r$, где $r$ — радиус теггольника.

7. В теграэдривина сфера радиуса $r$. Докажите, что $\frac{1}{r} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3}$, где $h_1, h_2, h_3$ — высоты теггольника.

3. a) Через центр правильного треугольника проведена прямая, параллельная основанию. На этой плоскости внутри треугольника взята произвольная точка $O$. Докажите, что расстояние от точки $O$ до основания треугольника равно среднему арифметическому расстоянию от точки $O$ до боковых сторон треугольника.

6. Через центр правильного треугольника проведена плоскость, параллельная основанию. На этой плоскости внутри треугольника взята произвольная точка $O$. Докажите, что расстояние от точки $O$ до основания треугольника равно среднему арифметическому расстоянию от точки $O$ до боковых сторон треугольника.